¿Qué es el apalancamiento de carteras?

Question

La definición de apalancamiento es: $$L = \frac{\sum_i |H_i|}{C}$$ donde $C$ es la cantidad de capital, $H_i$ es el tamaño de las participaciones en el activo $i$ .

Me parece una definición extraña por varias razones:

1. Las tenencias de efectivo no se incluyen en la suma
2. Si el activo $1$ y $2$ están correlacionadas al 99% y $H_1+H_2 = 0$ entonces en teoría estás apalancado 2x, pero en realidad apenas tienes una posición. Esto es realista para futuros o ADRs.

Da la sensación de que el apalancamiento es una especie de medida del riesgo. Si $L$ supera una cantidad acordada previamente, digamos $5$ La cartera se considera demasiado arriesgada y se le pide que reduzca sus posiciones.

Me interesaría saber si es posible derivar esta formulación del apalancamiento de algo más motivado teóricamente, algo que tenga en cuenta la covarianza de los rendimientos de los activos...

Answer 1

Ampliando el comentario de noob2:

Supongamos que cada activo tiene la misma volatilidad $\sigma$ y su correlación es $$\mathcal{C}_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{ if } \mathrm{sgn}(h_i) = \mathrm{sgn}(h_j) \\ -1 & \text{ otherwise} \end{cases}$$ o más concisamente $$\mathcal{C} = \mathrm{sgn}(h) \mathrm{sgn}(h)'$$

Entonces la volatilidad de la cartera es $$\begin{align} \sigma_h &= \sigma \sqrt{h' \mathcal{C} h} \\ & = \sigma \sqrt{h' \mathrm{sgn}(h) \mathrm{sgn}(h)' h} \\ &= \sigma ||h||_1 \end{align}$$

Y asumiendo rendimientos normales multivariantes de media cero, el valor en riesgo es: $$\mathrm{VaR}_\alpha = \sigma_h \sqrt{\Delta T} \Phi^{-1}(1-\alpha)$$

Así pues, el apalancamiento es proporcional al VaR de la cartera (según este modelo pesimista) dividido por el capital: $$L \propto \frac{\mathrm{VaR}_\alpha}{C}$$

Suponiendo que se trate de un VaR a un mes del 1%, hay igualdad en $\sigma \approx 150\%$ .