Linealización logarítmica con sumas

Question

Tengo la siguiente ecuación para una variable $s$ :

$$s = -\beta\frac{\alpha(1-w)^{\zeta-1}-(1-\alpha)w^{\zeta-1}}{\alpha(1-w)^{\zeta}+(1-\alpha)w^{\zeta}}$$

donde $\zeta$ , $\alpha$ y $\beta$ son parámetros. Hasta donde yo sé, no hay forma de escribir explícitamente $w$ en función de $s$ . Mi objetivo es obtener una aproximación lineal (o log-lineal) $f(s)=w$ para $s$ cerca de cero. Cuando $\zeta=0$ y $\beta=1$ tiene una bonita pendiente parabólica y una intercepción simple:

$$w \approx (1-\alpha) + \left(\left(\alpha - \frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\right)s$$

Todavía tengo que elaborar una aproximación lineal que sea general para $\zeta$ , $\beta$ y $\alpha$ . He estado intentando utilizar la log-linealización pero los problemas con los que me encuentro son los siguientes:

(1) Al log-linealizar tenemos $s=\overline{s}e^{\tilde{s}}$ donde $\tilde{s}$ es la desviación $\ln\left(\frac{s}{\overline{s}}\right)$ y $\overline{s}$ es nuestro valor alrededor del cual nos estamos aproximando. En este caso, $\overline{s}=0$ . Podemos ver que tenemos un problema de división por cero o de tener $s=0$ siempre. Esto lo puedo arreglar aproximando alrededor de algunos pequeños $\epsilon>0$ aunque tal vez haya una forma mejor de hacerlo.

(2) Cuando hago sustituciones para introducir la desviación logarítmica $\tilde{s}$ luego trato de simplificar, termino con un logaritmo de una suma ya que en el lado derecho de la ecuación tenemos sumas de exponentes tanto en el denominador como en el numerador. No he descubierto cómo deshacerme de las sumas en los logaritmos. Este es mi principal problema.

Agradeceré cualquier consejo o sugerencia.

Answer 1

Primero necesitas el valor $w_0$ de $w$ para $s=0$ :

$$0=\alpha(1-w_0)^{\zeta-1}-(1-\alpha)w_0^{\zeta-1}\;,\\ (1-\alpha)w_0^{\zeta-1}=\alpha(1-w_0)^{\zeta-1}\;,\\ (1-\alpha)^\frac1{\zeta-1}w_0=\alpha^\frac1{\zeta-1}(1-w_0)\;;\\ w_0=\frac{\alpha^\frac1{\zeta-1}}{\alpha^\frac1{\zeta-1}+(1-\alpha)^\frac1{\zeta-1}}=\frac1{1+\left(\alpha^{-1}-1\right)^\frac1{\zeta-1}}\;.$$

Entonces puedes considerar pequeñas desviaciones $\delta$ de $w_0$ con $w=w_0+\delta$ y linealizar manteniendo sólo los términos de primer orden en $\delta$ . Dado que el numerador es $0$ en $w_0$ los términos de primer orden en el denominador no contribuyen, por lo que

$$\begin{eqnarray*} s&\approx&-\beta\frac{\alpha(1-w_0-\delta)^{\zeta-1}-(1-\alpha)(w_0+\delta)^{\zeta-1}}{\alpha(1-w_0)^\zeta+(1-\alpha)w_0^\zeta} \\ &\approx& -\beta\frac{\alpha\left((1-w_0)^{\zeta-1}-(\zeta-1)\delta(1-w_0)^{-1}\right)-(1-\alpha)\left(w_0^{\zeta-1}+(\zeta-1)\delta w_0^{-1}\right)}{\alpha(1-w_0)^\zeta+(1-\alpha)w_0^\zeta} \\ &=& \beta(\zeta-1)\delta\frac{\alpha(1-w_0)^{-1}+(1-\alpha)w_0^{-1}}{\alpha(1-w_0)^\zeta+(1-\alpha)w_0^\zeta}\;. \end{eqnarray*}$$

Así que

$$w\approx w_0+\frac1{\beta(\zeta-1)}\frac{\alpha(1-w_0)^\zeta+(1-\alpha)w_0^\zeta}{\alpha(1-w_0)^{-1}+(1-\alpha)w_0^{-1}}s\;.$$