Existencia de un límite superior para las betas/coeficientes de los factores de riesgo

Question

Teoría:

Basado en Hansen/Jagannathan el conjunto de medias y varianzas de los rendimientos es limitado. Con $R^f$ como el tipo sin riesgo, $R_i^e$ como el rendimiento de las acciones $i$ superior a $R^f$ y un factor de descuento estocástico $m$ Lo sabemos:

$$\frac{\sigma(m)}{\mathrm{E(m)}} \geq \frac{\lvert \mathrm{E}(R_i^e)-R^f \rvert}{\sigma(R_i^e)} $$

Además, sabemos que los modelos de fijación de precios Beta son equivalentes a los modelos lineales para el factor de descuento $m$ :

$$\mathrm{E}(R_i^e) = \gamma + \lambda'\beta_i \leftrightarrow m = a + b'f,$$

con $\lambda$ que es la prima de riesgo del factor $f$ donde $\lambda = \mathrm{E}(f)$ se cumple (considere $f$ ser un factor negociable, por ejemplo, el exceso de rentabilidad del mercado en el caso del CAPM).

En la investigación empírica estimamos $\beta_i$ mediante regresiones de series temporales,

$$R_i^e = a_0 + \lambda' \beta_i + \epsilon_i$$

lo que implica

$$\beta_i = \frac{cov(R_i ^e, \lambda')}{var(\lambda')}$$

¿Existe un límite superior para $\beta_i$ en función de $m$ o información sobre $\lambda'$ ?

Mi pregunta está relacionada con este uno, donde Matthew Gunn afirma que

El infinito no tiene sentido.

Sin embargo, la pregunta se refiere a la beta del mercado y no a un límite superior de coeficientes ("beta") de factores de riesgo propuestos (es decir, factores ajenos al mercado).

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Ejemplo:

Considere la Fama/French (1992, 1993) modelo de tres factores con un factor de tamaño SMB, el factor de valor HML y el factor de mercado MKTRF y reproduzcamos el cuadro 6 del documento. Utilizamos 25 rentabilidades de carteras ponderadas por valor, ordenadas por tamaño y ratio book-to-market, y regresionamos cada una de ellas sobre nuestros tres factores de riesgo:

$$R_i^e = a_0 + b_1 MKTRF+ b_2 SMB + b_3 HML + \epsilon_i,$$

y nos interesan los coeficientes estimados $\hat{b}_2$ para el factor de tamaño SMB.

Código R:

library(FFdownload)

tempf <- tempfile(fileext = ".RData")
inputlist <- c("F-F_Research_Data_Factors", "25_Portfolios_5x5")

# download factors and 5x5 portfolios sorted on size and book-to-market
FFdownload(output_file = tempf, inputlist=inputlist, exclude_daily = TRUE, download = TRUE, download_only=FALSE)
load(tempf)
factors    <- FFdata$`x_F-F_Research_Data_Factors`$monthly$Temp2[,c("Mkt.RF","SMB","HML")]
portfolios <- FFdata$x_25_Portfolios_5x5$monthly$average_value_weighted_returns

# mean and volatility of factor returns
apply(factors, 2, mean)

> Mkt.RF    SMB       HML 
> 0.6704671 0.1931055 0.3590398 

apply(factors, 2, sd)

> Mkt.RF    SMB       HML 
> 5.352773 3.170227 3.565333 

SIZE_BETAS <- vector(mode = "numeric", length = 25)

# regress portfolio returns on the three factors
for(i in 1:25){
  ret <- portfolios[,i]
  reg <- lm(ret ~ factors)
  SIZE_BETAS[i] <- reg$coefficients[3]  # extract estimated coef. for size factor
}

# results as in Fama/French (1993), Table 6, coefficient "s"
# deviations from the original Table are because data on French Data Lib. is updated
t(matrix(SIZE_BETAS, nrow = 5, ncol = 5))

           [,1]       [,2]       [,3]       [,4]       [,5]
[1,]  1.4617511  1.5366500  1.2439367  1.2224793  1.3077786
[2,]  1.1348994  0.9895360  0.8200150  0.8118625  0.9160859
[3,]  0.8070132  0.5416144  0.4409870  0.4683932  0.5762129
[4,]  0.3306691  0.2294190  0.2040363  0.2017700  0.3108749
[5,] -0.1537455 -0.1927042 -0.2378840 -0.1890345 -0.1753790

La réplica de los coeficientes tamaño-factor utilizando las 25 carteras de prueba arroja estimaciones dentro del intervalo $[-0.24;1.54]$ por lo que tomaría el valor máximo de 1,54 como límite superior en ese caso. Sin embargo, utilizando otro conjunto de carteras de prueba se obtendrían otras estimaciones. ¿Qué podemos decir sobre un límite superior de $\hat{\beta}_i$ disponer de información sobre los factores de riesgo (en este caso MKTRF, SMB y HML) que abarcan el factor de descuento $m$ ?

Answer 1

No creo que exista tal límite superior para beta en términos de momentos del SDF solamente. El límite superior de beta depende de la volatilidad del SDF y de la volatilidad de los rendimientos de los activos. La primera viene dada por su cartera imitadora de factores, la segunda puede ser arbitrariamente grande.

Ratios de Sharpe

Para empezar, escriba

Según Hansen/Jagannathan, el conjunto de medias y varianzas de los rendimientos es limitado.

Esto no es cierto porque el límite de Hansen y Jagannathan (1991) sólo limita los activos Ratios de Sharpe por momentos del SDF. No hay límites para las medias y varianzas individuales de los rendimientos de los activos.

El límite de Hansen y Jagannathan (1991) esencialmente dice: sólo existen altos ratios de Sharpe si el FAD es muy volátil [si hay mucho riesgo agregado]. La valoración empírica de activos suele aplicar el teorema para comprobar si una FAD candidata es lo suficientemente volátil como para coincidir con las ratios de Sharpe observables en los datos.

Límite trivial

Un coeficiente de regresión está acotado suponiendo una correlación perfecta, \begin{align} \beta_i=\frac{Cov(R_i,M)}{Var[M]}\leq \frac{\sigma_i}{\sigma_M}. \end{align} Beta está acotada si $\sigma_i$ está acotada y si $\sigma_M$ no está muy cerca de cero.

Conocer los factores que imitan el SDF significa que conocemos la media y la varianza del SDF. El límite de Hansen y Jagannathan (1991) indica que el verdadero SDF debe ser suficientemente volátil. De lo contrario, no podemos justificar los elevados ratios de Sharpe en los datos. Así pues, la segunda preocupación acerca de un bajo $\sigma_M$ es menos preocupante.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que algunos FAD candidatos son conocidos por su baja volatilidad. El MCPC utiliza el crecimiento del consumo agregado como FDS, $M_{t,t+1}=\delta\left(\frac{C_{t+1}}{C_t}\right)^{-\gamma}$ . Sin embargo, en los datos, el crecimiento del consumo no es muy volátil. Es esta baja volatilidad la que provoca el sólido rechazo del modelo. Los modelos macrofinancieros más modernos incluyen hábitos, riesgos a largo plazo o riesgos de catástrofe para que sus FAD sean más volátiles y se ajusten mejor a los datos.

Aproveche

Volver a $\beta_i$ si podemos descartar $\sigma_M$ a cero, podemos estar seguros de que $\beta_i$ está acotado si $\sigma_i$ es. Sin embargo, esto es un problema. En su ejemplo, utiliza las famosas 25 carteras ordenadas por tamaño/libro como activos de prueba. Otros ejemplos populares incluyen 125 carteras ordenadas por tamaño/libro-mercado/momento o carteras sectoriales. Sin embargo, podemos elegir nuestros activos de prueba con bastante flexibilidad. ¿Por qué no tomar cualquier cartera arbitraria y apalancarla? Sigue siendo una cartera negociable que el modelo debería poder valorar. Sin embargo, al apalancar una cartera, podemos aumentar arbitrariamente su volatilidad (y su beta). Cabe destacar que el apalancamiento no afecta al límite de Hansen y Jagannathan (1991), que se refiere a los ratios de Sharpe, medias divididas por volatilidades, y es insensible al apalancamiento.

Tome su R sustituya las 25 carteras por versiones apalancadas y vea cómo cambian sus betas. Para limitar las betas, tendrías que asumir que los inversores no pueden apalancar arbitrariamente sus carteras. Tendrías que restringir el conjunto de activos de prueba válidos. Seguramente hay modelos que incorporan tales fricciones, pero están ausentes de la introducción estándar del SDF.

Ilustración sencilla

Para ver los puntos más fácilmente, veamos $R_i$ sea un exceso de rentabilidad y $\lambda>0$ . Entonces, $R_\lambda=\lambda R_i$ también es una devolución válida y \begin{align} \mu_{\lambda} &= \lambda \mu_i, \\ \sigma_\lambda &= \lambda \sigma_i,\\ \beta_\lambda &= \lambda \beta_i, \\ \frac{\mu_\lambda}{\sigma_\lambda} &= \frac{\mu_i}{\sigma_i}. \end{align}