Estimación de la probabilidad de nocaut de una nota de llamada automática discretamente observada

Question

Para simplificar, supongamos que el subyacente sigue un movimiento browniano geométrico $S_t\sim\text{GBM}(\mu, \sigma), t\ge 0$ con $S_0=1$ . Un pagaré binario discretamente observado es una estructura derivada con fechas de observación $t_1<t_2<\cdots<t_n$ y paga al inversor un cupón alto $c$ en la primera fecha de observación en la que el subyacente $S_t$ supera alguna barrera preestablecida $K$ . En notaciones matemáticas, defina la fecha de nocaut $$\tau=\inf\{t_i,i=1,\cdots,n\mid S_{t_i}>K\}$$ Se nos asignan las siguientes tareas:

1. Estimar la distribución de $\tau$ es decir, calcular $P(\tau=t_i)$ y $P(\tau=\infty)$
2. O al menos calcular $P(\tau < \infty)$ si la primera tarea resulta demasiado difícil.

En la práctica, la simulación MC es claramente el camino a seguir. Pero digamos que nos interesa más el aspecto matemático de este problema y no nos centramos tanto en el pragmatismo. ¿Existen soluciones exactas o aproximadas que permitan una aplicación numérica sencilla? Gracias.

Answer 1

Existe una fórmula de forma cerrada para la probabilidad $\mathbb{P}(\tau = t_i)$ .

En primer lugar, recordamos que $$S_t=S_0\cdot \exp\left(\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2 \right)t+\sigma W_t \right) $$ Para $i=1$ es fácil que $$ \begin{align} \mathbb{P}(\tau = t_1) &= \mathbb{P}(S_{t_1}> K ) \\ &=\mathbb{P}\left(W_{t_1}> \frac{\ln \left(\frac{K}{S_0}\right) -\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2 \right)t_1}{\sigma} \right)\\ &=\color{red}{\Phi\left( \frac{-\ln \left(\frac{K}{S_0}\right) +\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2 \right)t_1}{\sigma \sqrt{t_1}} \right)} \end{align} $$ donde $\Phi(\cdot)$ la función de distribución de probabilidad de la distribución normal estándar univariante $\mathcal{N} (0,1) $ .

Para $i \ge 2$ tenemos $$ \begin{align} \mathbb{P}(\tau = t_i) &= \mathbb{P}(\bigcap_{0 \leq k \leq i-1} \{S_{t_k}\le K \} \cap \{S_{t_i}> K \} ) \\ &= \mathbb{P}\left(\bigcap_{0 \leq k \leq i-1} \left\{W_{t_k} \le \frac{\ln \left(\frac{K}{S_0}\right) -\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2 \right)t_k}{\sigma} \right\} \cap \left\{W_{t_i}> \frac{\ln \left(\frac{K}{S_0}\right) -\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2 \right)t_i}{\sigma} \right\} \right) \tag{1}\\ \end{align} $$ Observamos que el vector $(W_{t_1}, W_{t_2},...,W_{t_i})$ es un $i$ -distribución normal variable con media cero y la matriz de covarianza $\mathbf{\Sigma} \in \mathbb{R}^{i\times i}$ definido por $$ \Sigma_{hk} = Cov (W_{t_h},W_{t_k}) = \min \{t_h,t_k\} \qquad \text{for }1\le h,k\le i \tag{2} $$

Denotando $\Phi_i(\mathbf{L},\mathbf{U};\mathbf{0}_i,\mathbf{\Sigma} )$ la función de distribución de probabilidad del $i$ -distribución normal variable $\mathcal{N}_i (\mathbf{0}_i,\mathbf{\Sigma}) $ con

• media cero $\mathbf{0}_i$ ,
• matriz de covarianza $\mathbf{\Sigma}$ definido por $(2)$
• del límite inferior $\mathbf{L}$ al límite superior $\mathbf{U}$ con $\mathbf{L}, \mathbf{U} \in \mathbb{R}^{i}$ $$L_k=\begin{cases} -\infty & \text{if $0\le k\le i-1$ }\\ \frac{\ln \left(\frac{K}{S_0}\right) -\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2 \right)t_k}{\sigma} & \text{if $k = i$ }\\ \end{cases} $$ $$U_k=\begin{cases} \frac{\ln \left(\frac{K}{S_0}\right) -\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2 \right)t_k}{\sigma} & \text{if $0\le k\le i-1$ }\\ +\infty & \text{if $k = i$ }\\ \end{cases} $$

Entonces, desde $(1)$ tenemos

$$\mathbb{P}(\tau = t_i) = \color{red}{\Phi_i(\mathbf{L},\mathbf{U};\mathbf{0}_i,\mathbf{\Sigma} ) }$$