Ley de la expectativa iterada para la fijación del precio de un bono cupón cero con riesgo de recuperación cero

Question

Actualmente estoy leyendo " Modelización de derivados de crédito uninominales y multinominales" por Dom O'Kane pero lucho en un punto que debería ser relativamente fácil.

Consideremos un bono cupón cero con riesgo de recuperación cero, es decir, un bono que paga 1 en caso de que no haya impago $\tau > T$ (es decir, el momento del impago llega después del vencimiento)

La fórmula de fijación del precio de un producto de este tipo viene dada por: $Z(0, T) = E\left[\exp\left(-\int_0^T r(t)dt\right) \cdot \mathbb{1}( \tau > T)\right]$ .

También sabemos que: $P(\tau > T) = \exp\left(-\int_0^T \lambda(t)dt\right)$ .

Para simplificar la redacción de $Z(0, T)$ Estos son los pasos que se presentan: $Z(0, T) = E\left[\exp\left(-\int_0^T r(t)dt\right) \cdot \mathbb{1}( \tau > T)\right]$ .

Usando la ley de la expectativa iterada, tenemos:

$Z(0, T) = E\left[E\left[\exp\left(-\int_0^T r(t) dt\right) \cdot \mathbb{1}(\tau > T) | {\lambda(t)}_{t \in [0,T]}\right]\right]$ .

Y como $E\left[I(\tau > T) | \mathcal{\lambda(t)}_{t \in [0,T]}\right] = \text{P}(\tau > T) = \exp\left(-\int_0^T \lambda(t)dt\right)$ .

Así que uno tiene: $Z(0, T) = \mathbb{E}\left[\exp\left(-\int_0^T (r(t) + \lambda(t)) dt\right)\right]$ .

Pregunta 1: ¿Por qué se selecciona para la filtración el conjunto de $\lambda(t)$ ?

Pregunta 2: ¿Cómo podemos dividir y escribir esto? $E\left[\exp\left(-\int_0^T r(t) \, dt\right) \cdot \mathbf{1}_{\tau > T} \,|\, \tau\right] = \exp\left(-\int_0^T r(t) \, dt\right) \cdot E\left[\mathbf{1}_{\tau > T} \,|\, \tau\right]$ si no hiciéramos ninguna suposición sobre la independencia de $r$ y $\lambda$ ?

Answer 1

En el contexto del riesgo de crédito y el cálculo estocástico, el filtrado de un proceso estocástico, denotado por {F_t}, representa la información acumulada hasta el momento t. Este concepto permite considerar la nueva información a medida que se revela con el tiempo. Ahora, entremos en los detalles de sus preguntas.

Pregunta 1: El filtrado elegido es el conjunto de λ(t) ya que λ(t) representa la intensidad del proceso de impago τ y, por tanto, contiene toda la información sobre el riesgo de impago hasta el momento t. En el caso de la modelización de derivados de crédito, conocer la intensidad de impago es crucial en la fijación de precios. El filtrado {λ(t)} contiene toda la información disponible sobre esta intensidad de impago. Esto significa que contiene toda la información necesaria que tenemos hasta el tiempo t para decidir si se producirá o no un impago después del tiempo T.

Pregunta 2: En cuanto a las expectativas, parece que hay un malentendido. Lo que describes no es la separación de la integral de r(t) y λ(t), sino la aplicación de la ley de la expectativa total (o expectativas iteradas).

La ley de la expectativa total establece que el valor esperado de una variable aleatoria puede calcularse tomando el valor esperado del valor esperado condicional de la variable sobre un álgebra sigma menor. Esto nos permite separar la probabilidad del evento de incumplimiento (τ>T) del factor de descuento. No se trata de la independencia entre r y λ, sino de la aplicación de la ley de la expectativa total.

En la ecuación E[exp(-∫T0r(t)dt)⋅1(τ>T)|τ]=exp(-∫T0r(t)dt)⋅E[1(τ>T)|τ], se supone la independencia entre r y τ. Por lo tanto, podemos tratar r como determinista cuando consideramos la expectativa dada τ. Esto nos permite mover exp(-∫T0r(t)dt) fuera del operador de expectativa, ya que no involucra a τ.

Obsérvese que este tipo de simplificación puede encontrarse a menudo en la modelización del riesgo de crédito, ya que normalmente consideramos el tipo a corto plazo r y la intensidad de impago λ como independientes, lo que simplifica los cálculos sin dejar de captar las características fundamentales del comportamiento del derivado de crédito.