Ha habido algunos mensajes sobre este tema, pero no lo que estoy buscando, por lo que un nuevo puesto en un viejo tema..
Creo que algunos/la mayoría de los aquí presentes estamos familiarizados con la siguiente fórmula que expresa la volatilidad implícita como el umbral de rentabilidad constante Volatilidad de cobertura BlackScholes para que el P/L final esperado sea igual a cero. Después de algunos reordenamientos obtenemos la fórmula familiar, y restringiendo ahora a un modelo de volatilidad estocástica pura como la verdadera dinámica:
$$ \Sigma^2(S_t,t,K,T) = \frac{E_t^Q \int_t^T \sigma_u^2 S_u^2 \Gamma^{BS}(S_u,K,\Sigma(S_t,t,K,T)) du}{E_t^Q \int_t^T S_u^2 \Gamma^{BS}(S_u,K,\Sigma(S_t,t,K,T)) du} $$
donde $\sigma_u$ es la volatilidad estocástica, y $Q$ es la medida neutral de riesgo para este modelo SV. Obsérvese que la volatilidad implícita en los términos gamma de Black-Scholes es siempre la volatilidad implícita inicial (después de todo, esta fórmula se obtiene bajo el supuesto de cobertura a volatilidad implícita inicial constante).
Ahora es cuando creo que estoy cometiendo un error, o donde las cosas se ponen interesantes:
Supongamos que la correlación entre el spot y el vol es cero siempre. Entonces podemos aplicar el condicionamiento. Así, para una trayectoria dada de volatilidad podemos tomar la expectativa de los términos gamma del dólar, y luego tomar la expectativa sobre todas las trayectorias de volatilidad.
Pero para una senda dada de varianza realizada, sabemos que la gamma del dólar es una martingala, por lo que la gamma inicial resultante aparece tanto en el denominador como en el numerador y, por tanto, puede anularse. Lo que queda entonces es la siguiente fórmula (cuando $dSd\sigma = 0$ )
$$ \Sigma^2(S_t,t,K,T) = \frac{1}{T-t} E_t^Q \int_t^T \sigma_u^2 du $$
Por supuesto, esto no puede ser cierto, ya que significaría que para todos los strikes el vol implícito de equilibrio es el strike de varianza y la sonrisa sería plana. No es lo que observamos en un modelo SV con correlación cero.
Muchos (por ejemplo, Bergomi en su libro, Reghai en el suyo, Gatheral y otros) utilizan la fórmula de la volatilidad implícita como punto de equilibrio constante de la volatilidad de cobertura delta como punto de partida para expansiones y similares. Estos son tipos muy bien informados por lo que estoy seguro de que no van a utilizar algo que no tiene sentido lógicamente.
Mi pregunta es: ¿en qué paso me he equivocado?
Gracias.
