Un ejemplo de Feynman-Kac

Question

He estado aprendiendo sobre Feynman-Kac recientemente y entiendo las ideas subyacentes. Sin embargo, estoy atascado a la hora de calcular soluciones explícitas para problemas concretos.

Por ejemplo, supongamos que $S_t$ es el precio de un activo con SDE $dS_t = rS_tdt+ \sigma S_tdW_t$ donde $r$ y $\sigma$ son números positivos, y $W_t$ es un movimiento browniano estándar bajo alguna medida. Consideremos la función $f(t, S_t)$ en función del tiempo $t$ y sobre el precio $S_t$ . Cómo resolver el siguiente problema de contorno cuyo dominio es $[0,T]\times \mathbb{R}$ : $$ f_t +\dfrac{1}{2}\sigma^2 S^2 f_{SS}=0$$ con condición de terminal $f(T,S)=S^4$ ?

Answer 1

Espero que esté bien intentar responder a esta pregunta un poco antigua. El PDE $$f_t +\frac12 \sigma^2 s^2 f_{ss}=0$$ con condición de terminal $f(T,s)=s^4$ se resuelve mediante $$f(t,s)=\mathbb{E}(S_T^4|S_t=s),$$ donde $(S_t)_{t\geq 0}$ resuelve la SDE $$dS_t = \sigma S_t dB_t.$$

Esto es por Feynman-Kac. Aplicando el lema de Ito a $X_t = \log S_t$ da $$d X_t = -\frac12 \sigma^2 dt + \sigma dB_t,$$ lo que a su vez implica $$S_t = S_0 e^{-\frac12 \sigma^2 t + \sigma B_t}.$$ De ello se deduce que $$S_T = S_t e^{-\frac12 \sigma^2 (T-t) + \sigma B_{T-t}},$$ para que al tomar el $4$ -potencia y expectativa condicional $$\mathbb{E}(S_T^4|S_t=s) = s^4e^{-2 \sigma^2 (T-t)} \mathbb{E}( e^{4\sigma B_{T-t}})$$ $$=s^4e^{-2 \sigma^2 (T-t)} M_Z(4\sigma\sqrt{T-t}),$$ donde $M_Z(u)=\mathbb{E}(e^{uZ})$ es el MGF de un VR normal estándar. Por lo tanto, podemos concluir $$f(t,s) = s^4 e^{6\sigma^2 (T-t)},$$ siempre que no haya cometido errores aritméticos/algebraicos.