(c) Si se escribe $A$ de la forma $A=S(1+x)^n=S e^{n\ln(1+x)}$ y utiliza la aproximación $\ln(1+x)\approx x$ para pequeños $x$ se obtiene $A\approx S e^{nx}$ . ¿Qué valor para $A$ se obtiene con este método de aproximación?
Se basa en las propiedades
\begin{eqnarray} \ln (a^b) &=& b\ln a \tag{1a}\\ e^{\ln a} &=&a \tag{1b} \end{eqnarray}
Por lo tanto
$$ A = S(1+x)^n \stackrel{(1b)}{=} Se^{\ln(1 + x)^n} \stackrel{(1a)}{=} Se^{n\ln(1 + x)} \tag{2} $$
Ahora, puede utilizar el hecho que cuando $|x|< 1$ entonces
$$ \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - \cdots = \sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k x^k $$
si se integran ambos lados, se obtiene
$$ \ln(1 + x) = x -\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}- \cdots = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \frac{x^{k+1}}{k+1} \tag{3} $$
tal que para $x$ basta con tomar sólo el primer término de esta suma
$$ \ln(1 + x)\approx x \tag{4} $$
La ecuación (2) pasa a ser
$$ A_1\approx Se^{nx} = 1648.72 $$
Utilizaré el subíndice $1$ para enfatizar que estamos tomando sólo el primer término de la serie
(d) Una aproximación mejor es $\ln(1 + x) \approx x - x^2/2$ . Explica cómo se relaciona esto con encontrar la aproximación de Taylor de $\ln(1 + x)$ w $$ \ln(1 + x) = x -\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}- \cdots = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \frac{x^{k+1}}{k+1} $$
Basta con tomar los dos primeros términos de la Ec. (3). Aquí está la cosa, si $x$ es pequeño $x^2/2$ es menor, y $x^3/3$ es aún menor, y $\dots$ Así que cuantos más términos incluya, mejor, pero menor será la corrección en el resultado global. Hasta segundo orden
$$ A_2\approx Se^{n(x - x^2/2)} = 1628.24 $$
que se parece casi al resultado exacto que encontraste antes. Si incluyes hasta el tercer orden verás como se aproxima incluso mejor a la solución exacta.
e) A partir de la aproximación de (d) desarrolle una fórmula de aproximación para $A$ en términos de $S$ , $x$ y $n$ . Utilícelo para calcular $A$ en nuestro ejemplo concreto.
En general, si toma hasta $N$ términos en la suma esto es lo que se obtiene
$$ A_N \approx Se^{n(x - x^2 - \cdots + (-1)^{N+1}x^{N}/N)} $$
A continuación figuran algunos resultados
\begin{eqnarray} A_{\rm exact} &=& 1628.89 \\ A_1 &=& 1648.72 \\ A_2 &=& 1628.24 \\ A_3 &=& 1628.92 \\ A_4 &=& 1628.89 \end{eqnarray}
