Relación entre el modelo de mercado Libor y Black76 con vola

Question

En Modelo Black76 utiliza un proceso lognormal para modelizar el tipo a plazo $L_1(t)$ de $T_1$ a $T_2$ a la vez $t$ ,

$$dL_1(t) \ = \ \mu(t) L_1(t) dt + \sigma(t) L_1(t) dW_t$$

Al cambiar al $T_2$ -medida hacia adelante, uno puede entonces deshacerse del término de deriva y establecer fórmulas fáciles de fijación de precios.

En Modelo de mercado Libor por otra parte, utiliza varios de estos tipos a plazo a plazos $T_1< \cdots < T_N$ en los que los movimientos brownianos suelen estar correlacionados. Como en el modelo Black, el conjunto de tipos a plazo se lleva a una medida común y se simula a partir de entonces.

Pregunta:

• Si se supone una vola dependiente del tiempo en el modelo Black que es constante por pasos entre las fechas de tenor, ¿cuál es la relación con un modelo de mercado Libor (en el que se supone que las volas son constantes)? Dicho de otro modo, ¿cuál es la matriz de correlación en el LMM para reproducir el modelo Black con una vola constante por pasos?

Answer 1

El LMM se realiza normalmente con cada tasa que tiene su propia función de volatilidad dependiente del tiempo.

Se pueden obtener los mismos vols constantes efectivos de Black tomando el vol cuadrático medio a lo largo de la vida de la tasa para cada tasa.

La covarianza entre dos índices $i$ y $j$ si hacemos un paso de s a t es $$ \int_{s}^{t} \rho_{ij} \sigma_i(r) \sigma_j(r) dr. $$