Frist de la gamma determina la aversión al riesgo del inversor. $R(U) = -\frac{U^{\prime\prime}}{U^\prime}(W)$ . La función de utilidad es para la riqueza total. Cuando tiene efectivo/bonos frente a acciones. Las acciones tienen una distribución, la utilidad esperada de la riqueza total está siendo maximizada.
Grossman, Miller (1998) es un documento interesante. Se centra en el riesgo de los creadores de mercado y en el coste de proporcionar liquidez. No se trata de un modelo basado en el riesgo de inventario. El coste para el creador de mercado de proporcionar inmediatez se basa en la maximización de la utilidad sobre una evolución esperada del precio. El precio evoluciona de forma exógena. No existe la noción de precio medio o valor razonable. La cuestión es sobre todo proporcionar inmediatez de ejecución y el riesgo asociado.
El modelo:
El modelo es muy sencillo. Hay dos tipos de participantes,
- Los creadores de mercado proporcionan inmediatez de ejecución a un precio.
- Los operadores llegan de forma asíncrona y provocan desequilibrios que son resueltos por el creador de mercado.
El funcionamiento del mercado se modela como una secuencia de eventos de desequilibrio que el creador de mercado alivia tomando la otra parte. Al hacerlo, el creador de mercado asume un riesgo hasta el siguiente periodo. El riesgo se mantiene durante un periodo.
Activos negociados El mercado facilita la negociación de un activo de riesgo. El inversor tiene la opción de negociar el activo de riesgo o mantener el efectivo. Todas las estrategias se autofinancian.
Tiempos de negociación Al comienzo del periodo uno, entra un inversor y crea un desequilibrio debido a su demanda del activo de riesgo. El creador de mercado interviene y facilita la operación. En el periodo $2$ un inversor entra con una demanda neta contraria creando. El creador de mercado facilita la operación deshaciendo su inventario acumulado. Hay un periodo $3$ cuyo objetivo es determinar el precio del activo. La innovación de los precios viene dictada por las noticias que llegan en periodos $1$ y $2$ . Se supone que los precios se distribuyen normalmente.
Optimización Cada participante optimiza en función de la evolución esperada de los precios en cada periodo $3$ . La información de la evolución de los precios llega antes de la negociación a $1$ y $2$ . La optimización se basa en el conjunto de información disponible.
El dilema de la liquidez
El inversor negocia una cantidad para optimizar su utilidad. El inversor reequilibra su posición entre efectivo y activo de riesgo para maximizar su utilidad. Sea $\overline{x}_t$ son las cantidades del activo de riesgo que el inversor posee después de la operación en el momento $t$ y $B_t$ es la tenencia de efectivo en el momento $t$ . La riqueza en los distintos periodos es la siguiente. \begin{align} W_3 &= B_3 + \overline{P}_3 \overline{x}_3 = B_2 + \overline{P}_3 \overline{x}_2\\ W_2 &= B_2 + \overline{P}_2 \overline{x}_2= B_1 + \overline{P}_2 \overline{x_1}\\ W_1 &= B_1 + \overline{P}_1 \overline{x}_1 = W_0 + \overline{P_1} i_1 \end{align} Ahora las cosas se ponen un poco interesantes. Empezamos con la dotación del inversor (posición inicial) de $i_1$ . El inversor tiene la opción de esperar o negociar inmediatamente. Denotamos $x_t = \overline{x}_t - i_1$ como el exceso de demanda en un momento dado $t$ . Esto tiene sentido, si después de la operación su posición es más alta la demanda es positiva, de lo contrario es negativa. Comprar o vender es esencialmente que la demanda sea positiva o negativa.
\begin{align} W_3 &= B_1 + \overline{P}_2 \overline{x}_1 - \overline{P}_2 \overline{x}_2 + \overline{P}_3 \overline{x}_2 \\ W_3 &= W_0 + \overline{P}_1 i_1 - \overline{P}_1 \overline{x}_1 + \overline{P}_2 \overline{x}_1 - \overline{P}_2 \overline{x}_2 + \overline{P}_3 \overline{x}_2 \end{align} Algunos comentarios $i =\overline{x}_1 - i_1$ es el desequilibrio en el período $1$ . La cantidad, $\overline{x}_2 - \overline{x}_1$ es el desequilibrio en el periodo 2. Suponemos que estos desequilibrios son iguales. Ahora estudiaremos la optimización en el momento $3$ . Utilizaremos la inducción hacia atrás para facilitar el proceso de optimización.
\begin{align} W_3 = B_2 + \overline{P}_3 \overline{x}_2 = W_2 - \overline{P}_2 \overline{x}_2 + \overline{P}_3 \overline{x}_2 \end{align} Suponemos una función de utilidad $U(W) = -a e^{-aW}$ Si $W$ se supone que tiene una distribución gaussiana, $N(\mu, \sigma^2)$ entonces $E[-a e^{-aW}]= e^{a\left(\frac{a\sigma^2 - 2 \mu }{2}\right)}$ . Suponiendo la distribución condicional de $\overline{P}_3$ es gaussiano $N(E[\overline{P}_3 | \mathcal{F_2}], var[\overline{P}_3 | \mathcal{F_2}])$ tenemos. \begin{align} W_3 = N(W_2 - \overline{P_2} \overline{x}_2 + \overline{x}_2 E[\overline{P}_3 | \mathcal{F_2}], \overline{x}_2^2 var[\overline{P}_3 | \mathcal{F_2}]) \\ E[-ae^{a W_3}] = e^{a \left( \frac{a \overline{x}_2^2 var[\overline{P}_3 | \mathcal{F_2}] - 2(W_2 - \overline{P_2} \overline{x}_2 + \overline{x}_2 E[\overline{P}_3 | \mathcal{F_2}])} {2}\right)} \\ \end{align} Maximizar el valor esperado con respecto a $\overline{x}_2$ que tenemos, \begin{align} &\frac{d E[W_3]}{d \overline{x}_2} = a E[-ae^{a W_3}] \left[ a \overline{x}_2 \ var[\overline{P}_3 | \mathcal{F_2}] + \overline{P}_2 - E[\overline{P}_3 | \mathcal{F_2}]\right] = 0 \\ &\overline{x}_2 = \frac{E[\overline{P}_3 | \mathcal{F_2}] - \overline{P}_2}{a \ var[\overline{P}_3 | \mathcal{F_2}]} \end{align} Ahora la pregunta es si en periodo $2$ el desequilibrio era una compra o una venta. En nuestro caso hemos elegido que el desequilibrio sea una compra, por lo que tenemos $\overline{x}_2 = x_2 + i$ . La posición en el momento $2$ viene dada, por tanto, por, \begin{align} x_2 = \frac{E[\overline{P}_3 | \mathcal{F_2}] - \overline{P}_2}{a \ var[\overline{P}_3 | \mathcal{F_2}]} - i \end{align} Del mismo modo, ahora optimizamos en el periodo de tiempo $1$ . El inversor optimiza su riqueza $W_2$ . \begin{align} W_2 = W_0 + \overline{P}_1 ( i_1 - \overline{x}_1) + \overline{P}_2 \overline{x}_1 \end{align} Como antes, suponemos una distribución normal para $\overline{P}_2 = N(E[\overline{P}_2|\mathcal{F}_1], \ var[\overline{P}_2|\mathcal{F}_1])$ . En este caso $x_1 = \overline{x}_1 - i$ Como antes, vemos que, \begin{align} x_1 = \frac{E[P_2|\mathcal{F}_1] - \overline{P}_1}{a \ var[\overline{P}_2 | \mathcal{F}_1]} - i \end{align}
El creador de mercado
El creador de mercado sólo facilita las operaciones. No tiene dotación inicial, por lo que sus ecuaciones de riqueza son idénticas a las del inversor. Sin embargo, su dotación inicial es cero. No comienza con ninguna posición inicial. Es como un operador que liquida sus posiciones al final del día y vuelve a empezar al día siguiente. Por tanto, la cantidad optimizada es la misma que la del inversor, salvo que no hay $i$ . Esencialmente los creadores de mercado quanity son, \begin{align} x_2^m = \frac{E[\overline{P}_3 | \mathcal{F_2}] - \overline{P}_2}{a \ var[\overline{P}_3 | \mathcal{F_2}]} \\ x_1^m = \frac{E[P_2|\mathcal{F}_1] - \overline{P}_1}{a \ var[\overline{P}_2 | \mathcal{F}_1]} \end{align}
\section {Esperar o no esperar} La cuestión es si esperar o apostar por la inmediatez. Si esperamos un tiempo y coincidimos en el tiempo $2$ . En el momento $2$ . Como las demandas en los dos periodos son opuestas tenemos, \begin{align} \frac{E[\overline{P}_3 | \mathcal{F_2}] - \overline{P}_2}{a \ var[\overline{P}_3 | \mathcal{F_2}]} - i + \frac{E[\overline{P}_3 | \mathcal{F_2}] - \overline{P}_2}{a \ var[\overline{P}_3 | \mathcal{F_2}]} + i + M \frac{E[\overline{P}_3 | \mathcal{F_2}] - \overline{P}_2}{a \ var[\overline{P}_3 | \mathcal{F_2}]} = 0 \label{period_2_equillibrium} \end{align} Dónde, $M$ es el número de creadores de mercado, y $\frac{E[\overline{P}_3 | \mathcal{F_2}] - \overline{P}_2}{a \ var[\overline{P}_3 | \mathcal{F_2}]} $ es la cantidad optimizada por el creador de mercado. \begin{align} (M + 2) \frac{E[\overline{P}_3 | \mathcal{F_2}] - \overline{P}_2}{a \ var[\overline{P}_3 | \mathcal{F_2}]} = 0 \Rightarrow E[\overline{P}_3 | \mathcal{F_2}] - \overline{P}_2 = 0 \Rightarrow \\ E[\overline{P}_3 | \mathcal{F_2}] = \overline{P}_2 \end{align} El análisis anterior indica que si el inversor espera para ejecutar, la cantidad del creador de mercado es realmente $0$ . El otro dato interesante es que el \underline {la evolución de los precios es una martingala}.
\section {El coste de la inmediatez.} Si el inversor quiere ejecución inmediata, su exceso de demanda $x_t$ tiene que ser compensado por el creador de mercado. Por lo tanto, tenemos lo siguiente. \begin{align} \frac{E[\overline{P}_2|\mathcal{F}_1] - P_1}{a \ var[\overline{P}_2 | \mathcal{F}_1]} - i + M \frac{E[P_2|\mathcal{F}_1] - P_1}{a \ var[\overline{P}_2 | \mathcal{F}_1]} = 0 \\ \frac{E[\overline{P}_2|\mathcal{F}_1] - P_1}{a \ var[\overline{P}_2 | \mathcal{F}_1]}= \frac{i}{M + 1}\\ E[P_2 | \mathcal{F}_1] = P_1 + a \frac{i}{M + 1} \ var[\overline{P}_2 | \mathcal{F}_1] \label{the_final_result} \end{align} El resultado \eqref {el_resultado_final} parece contraintuitivo. El valor esperado de la evolución futura de los precios depende de la dotación inicial del inversor. El precio que se paga por la inmediatez es $P_1 = E[\overline{P}_2 | \mathcal{F}] - a \frac{i}{M + 1} \ var[\overline{P}_2 | \mathcal{F}_1]$ . \ul {Esencialmente, la ecuación nos dice que, si el creador de mercado te está vendiendo su posición, (tú estás comprando $(i > 0)$ ) pagas un precio más bajo.} \ul {Si vende al creador de mercado, paga un precio más alto en relación con el valor esperado en el próximo periodo. Esencialmente, las compras aumentan el precio esperado futuro, las ventas reducen el precio esperado futuro}. Lo que es extraño es que uno pensaría que el creador de mercado cobraría un precio por ir en cualquier dirección en el comercio. Lo que vemos aquí es sobre todo una restricción en la innovación del precio futuro como resultado de la creación de mercado. Así, si quiere vender, venderá a un precio superior a la evolución prevista del precio, y si quiere comprar, pagará un precio inferior a la evolución. Esencialmente, las compras empujan el precio al alza y las ventas lo empujan a la baja. \subsection {Las cantidades retenidas} El inversor que entra a negociar en el momento $1$ no vende toda su cantidad. La relación de equilibrio entre el período $1$ y $2$ cantidades es la siguiente, \footnote {Los superíndices I y M indican el inversor y el creador de mercado.} \begin{align} q_1^I + q_1^M = q_2^I + q_2^M \end{align} El inversor entra en el momento $1$ con una cantidad $i$ la cantidad del creador de mercado es $0$ . Si suponemos que todos optimizan la misma utilidad, todos asumirán la misma cantidad de riesgo en la siguiente fase. Todos tendrán la misma cantidad en el momento $2$ . Entonces tendremos, \begin{align} i = q_2 + M q_2 \Rightarrow q_2 = \frac{i}{M + 1} \end{align} Si nuestros participantes en el mercado tuvieran distintas aversiones al riesgo, en el momento dos tendríamos las cantidades que posee el inversor (el valor optimizado), \begin{align} q_2^I = \frac{E[\overline{P}_2|\mathcal{F}_1] - P_1}{a_I \ var[\overline{P}_2 | \mathcal{F}_1]} = \frac{q_0}{a_I} \end{align} Del mismo modo, los creadores de mercado individuales disponen de las cantidades, \begin{align} q_{2,i}^M = \frac{E[\overline{P}_2|\mathcal{F}_1] - P_1}{a^M_i \ var[\overline{P}_2 | \mathcal{F}_1]} = \frac{q_0}{a^M_i} \end{align} Sustituyendo de nuevo en nuestras ecuaciones tenemos, $$q_0 = \frac{i}{ \frac{1}{a_I} + \sum_j \frac{1}{a_j^M} }.$$ \ul {Nótese que en el mercado real observamos el exceso de demanda. No conocemos las cantidades reales en poder de cada participante}. \section {Incentivo a la participación de los creadores de mercado} El modelo asume la presencia de múltiples creadores de mercado. Los creadores de mercado participarán si y sólo si el coste de oportunidad de invertir en otra parte es similar al de participar en el mercado. La estructura del mercado y las comisiones dictarán los incentivos para la participación. Si $c$ es el coste de oportunidad en otro lugar. El creador de mercado espera ganar $(\overline{P}_2 - \overline{P}_1) x^1_m$ . Esto se debe a que, si el inversor espera para negociar, la cantidad del creador de mercado es $0$ en el segundo periodo. En este modelo de tres periodos, el creador de mercado participa o no. Dependiendo de la estructura de comisiones y de la estructura del mercado, un mercado sólo puede soportar un determinado nivel de participación de creadores de mercado y, por tanto, de liquidez. \ \ El creador de mercado comienza con una riqueza de $W_0$ y tiene la oportunidad de hacer $(\overline{P}_2 - \overline{P}_1) x^1_m$ tiene un coste hundido de $c$ . Participará si y sólo si la utilidad de participar es al menos igual a la de no participar. Supongamos que $i$ sea una variable aleatoria de distribución normal no correlacionada con la evolución de los precios, tenemos. \begin{align} E[U(W_0 - c + (\overline{P}_2 - \overline{P}_1) x^1_m)] = E[U(W_0)]\\ e^{\frac{a \left( a (x^1_m)^2 \ var[\overline{P}_2|\mathcal{F}_1] - 2 (W_0 - c + x^1_m E[\overline{P}_2 | \mathbb{F}_1]) - \overline{P}_1 x^1_m\right)}{2}} &= e^{-a W_o} \\ e^{ac} e^{\frac{a \left( a (x^1_m)^2 \ var[\overline{P}_2|\mathcal{F}_1] - 2 x^1_m( E[\overline{P}_2 | \mathbb{F}_1] -\overline{P}_1 ) \right)}{2}} &=1 \\ e^{ac} e^{\frac{a \left( a (x^1_m)^2 \ var[\overline{P}_2|\mathcal{F}_1] - 2 x^1_m a x^1_m var[\overline{P}_2|\mathcal{F}_1] \right)}{2}} &=1 \\ e^{ac} e^{-\frac{a^2}{2} \left(\frac{i}{M+1}\right)^2 var[\overline{P}_2|\mathcal{F}_1]} &= 1 \end{align} Nótese que en lo anterior, realmente no podemos simplemente tomar la expectativa. La razón es, $i$ es una variable aleatoria. El análisis correcto es el siguiente. \begin{align} E[U(W_0 - c + (\overline{P}_2 - \overline{P}_1) x^1_m)] &= E[U(W_0)]\\ E[e^{-a(W_0 - c + (\overline{P}_2 - \overline{P}_1) x^1_m)}] &= e^{-a W_0} \end{align} Desde $W_0$ no es aleatorio y $\overline{P}_2$ es independiente de $i$ y $x^1_m$ , \begin{align} E[e^{ac - a(\overline{P}_2 - \overline{P}_1) x^1_m }] = 1 \\ e^{ac} E[e^{- a(\overline{P}_2 - \overline{P}_1) x^1_m }]= 1 \end{align} Observamos que como la variable $i$ y $\overline{P}_2$ son independientes, tomamos la expectativa frente a la variable $\overline{P}_2$ primero y luego $i$ . Así que, en esencia, lo que deberíamos hacer es mantener la expectativa de la derivación anterior. \begin{align} e^{ac}E[ e^{\frac{a \left( a (x^1_m)^2 \ var[\overline{P}_2|\mathcal{F}_1] - 2 x^1_m( E[\overline{P}_2 | \mathbb{F}_1] -\overline{P}_1 ) \right)}{2}} ]&=1 \\ e^{ac} E[e^{\frac{a \left( a (x^1_m)^2 \ var[\overline{P}_2|\mathcal{F}_1] - 2 x^1_m a x^1_m var[\overline{P}_2|\mathcal{F}_1] \right)}{2}} ]&=1 \\ e^{ac} E[e^{-\frac{a^2}{2} \left(\frac{i}{M+1}\right)^2 var[\overline{P}_2|\mathcal{F}_1]} ] &= 1 \end{align} Ahora es cuando las cosas se ponen complicadas, tenemos el cuadrado de una Variable Aleatoria Gaussiana. La distribución del cuadrado es esencialmente una \textbf Distribución {Chi-Cuadrado}. Realmente no quiero trabajar a través de los cálculos. Los cálculos son más simples de lo que pensaba. La función generadora de momentos para un \textbf {Chi-cuadrado} distribución es, \begin{align} M_f(t) = e^{\frac{\lambda t}{1-2t}}{(1- 2t)^{k/2}} \end{align} Dónde $\lambda= \sum_1^k E[x]^2$ , $k$ es el número de grados de libertad. En nuestro caso, el número de grados de libertad es $1$ . Eso nos da $\lambda = E[i]$ . Ahora se trata de transformar el valor dentro de la expectativa a algo que se parezca a una función generadora de momentos. He aquí el truco, dejemos que \begin{align} &\frac{a^2}{(M+1)^2} \ var[\overline{P}_2 | \mathcal{F}_1] \ var[i] = t \\ &z^2 = \frac{i^2}{var[i]} \end{align} Sustituyendo en nuestra expectativa tenemos, \begin{align} E[e^{-\frac{a^2}{2} \left(\frac{i}{M+1}\right)^2 var[\overline{P}_2|\mathcal{F}_1]} ] = e^{-ac} \\ E[e^{-\frac{t}{2}} z^2] = e^{-ac} \end{align} Comparando con la función de momento tenemos, \begin{align} e^{-E[i]^2 \frac{t}{2 ( 1+ t)} }\frac{1} {\sqrt{1 + t}} = e^{-ac} \end{align} Dado que $E[i] = 0$ tenemos. \begin{align} \frac{1}{\sqrt{1 + t}} = e^{-ac} \\ \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{k}{(M+1)^2}}} = e^{-ac} \\ \frac{k}{(M+1)^2} = e^{2ac} - 1 \\ M = \sqrt{\frac{k}{e^{2ac} - 1}} - 1 \end{align} La última relación establece una relación inversa entre el número de creadores de mercado y el coste. Si el coste de participación es elevado, el número de creadores de mercado disminuye.
\section {La Covarianza de los Cambios de Precios} Denotamos $\Delta P_t = P_t - P_{t-1}$ y $P_0 = E_0[P_1]$ . Definimos la covarianza como, $\frac{cov(\Delta P_2,\Delta P_1)}{\sqrt{var(\Delta P_2) var(\Delta P_1)}}$ . \begin{align} cov(\Delta P_2,\Delta P_1) = E(\Delta P_2 \Delta P_1) - E[\Delta P_2] E[\Delta P_1] \\ \end{align} Utilizamos las siguientes relaciones, (obsérvese que el subrayado implica un valor aleatorio para los precios) $P_2 = E[\overline{P}_3 | \mathcal{F}_2]$ , $E[\overline{P}_1 | \mathcal{F}_0] = E[\overline{P}_2 | \mathcal{F}_0]$ y $E[\overline{P}_2 | \mathcal{F}_1] = E[\overline{P}_3 | \mathcal{F}_1]$ . Este condicionamiento afirma esencialmente que, nuestro valor esperado futuro del precio de las acciones es el mismo a partir de un instante de tiempo dado. Esencialmente, cuando estamos en el momento cero, nuestro valor esperado para el precio en los momentos $\{1,2,3\}$ es el mismo. Esto parece más una restricción que una motivación de un proceso estocástico específico para la evolución de los precios. \begin{align} \Delta P_2 = P_2 - P_1 = P_2 - E[\overline{P}_2 | \mathcal{F}_1] + a \frac{i}{M+1} \ var[\overline{P}_2 | \mathcal{F}_1] \\ \Delta P_1 = P_1 - E_0[P_1] = E[\overline{P}_2| \mathcal{F}_1] - a \frac{i}{M+1} \ var[\overline{P}_2 | \mathcal{F}_1] - E[P_1 | \mathcal{F}_0] \end{align} La evolución de los precios se debe a noticias que provocan choques independientes. Esto implica que los shocks $P_2 - E[\overline{P}_2 | \mathcal{F}_1]$ y $E[\overline{P}_2|\mathcal{F}_1] - E[P_1 | \mathcal{F}_0]$ son independientes entre sí. Esto se deduce del hecho de que, el precio en el momento $0$ no se conoce realmente, por lo que $P_0 = E[\overline{P}_3 | \mathcal{F}_0]$ , $P_1 = E[\overline{P}_3 | \mathcal{F}_1]$ , $P_2 = E[\overline{P}_3 | \mathcal{F_2}]$ y $P_3 = \overline{P}_3$ . Las diferencias $\epsilon_2 = P_2 - E[\overline{P}_2 | \mathcal{F}_1]$ y $\epsilon_1 = E[\overline{P}_2 | \mathcal{F}_1] - E[\overline{P}_1 | \mathcal{F}_0]$ son independientes. Son esencialmente choques gaussianos $\epsilon_i = N(0, \sigma^2)$ . La covarianza se reduce esencialmente a, \begin{align} cov(\Delta P_2, \Delta P_1) = &E[\Delta P_2, \Delta P_1] - E[\Delta P2] E[\Delta P_1] \\ =& E\left[ \left(\epsilon_2 + a \frac{i}{M+1} var[\overline{P}_2|\mathcal{F}_1] \right) \left(\epsilon_1 - a \frac{i}{M+1} var[\overline{P}_2|\mathcal{F}_1] \right) \right] - \\ & E\left[\left(\epsilon_2 + a \frac{i}{M+1} var[\overline{P}_2|\mathcal{F}_1] \right) \right]E\left[ \left(\epsilon_1 - a \frac{i}{M+1} var[\overline{P}_2|\mathcal{F}_1] \right) \right] \\ =&E\left[-a^2 \frac{var[P_2|\mathcal{F}_1]^2}{(M + 1)^2} i^2 \right] + E\left[a \frac{var[P_2|\mathcal{F}_1]}{M+1} i\right] E\left[a \frac{var[\overline{P_2}|\mathcal{F}_1]}{M+1} i\right] \\ =&-a^2 \frac{var[P_2|\mathcal{F}_1]^2}{(M + 1)^2} \left[E[i^2] - E^2[i]\right] \\ =&-a^2 \frac{var[P_2|\mathcal{F}_1]^2}{(M + 1)^2} \ var[i] \end{align} Las derivaciones fueron un poco difíciles, la razón principal fue la incomprensión del significado de los términos y de cómo funciona todo este proceso. La idea principal que hay que entender es la de los choques como variables aleatorias i.i.d. Fíjate bien en la derivación y en los términos de la derivación. Aquí estaba claramente en términos de $var [i]$ No fue en términos de varianza de los precios. La diferencia de precios a lo largo del tiempo no son más que perturbaciones aleatorias del IID. Esta última idea debe entenderse claramente. Los incrementos son independientes. Por incremento se entiende el cambio incremental. Esto es cierto en el movimiento browniano. Esencialmente de aquí obtenemos el modelo de movimiento browniano para las acciones. Martingale, esto es importante de observar también. Los precios intradía se modelan como Martingales. La razón es que al apostar no se espera ganar dinero. \section {Cargos por transacción} Si un centro de mercado impone un coste a cada participante en forma de comisiones. También podemos contabilizarlo.
