¿Falta la restricción de no negatividad?

Question

Tenemos el problema de maximización restringida:

Una empresa perfectamente competitiva produce un output con dos inputs, capital $(k)$ y trabajo $(l)$ . El coste de alquiler del capital es igual a $r >0$ y el tipo salarial es igual a $w>0$ . La función de producción es $f(k, l)=(k + 1)^ l^{1-}$ con $0 <<1$ . La empresa desea minimizar los costes totales alcanzando un determinado nivel de producción $y>0$ .

Ahora bien, por el bien de este curso construimos esto como una maximización, problema Estoy particularmente interesado en el caso en que $k=0$ et $l>0$ . Aunque consideran específicamente este caso no escriben la restricción de no negatividad en el Lagrangiano, y creo que esto afecta el análisis al final. He adjuntado una captura de pantalla de la "respuesta".

ACTUALIZACIÓN: La ecuación específica que derivan en la captura de pantalla en realidad va a ser muy importante en la siguiente pregunta. ¡Así que los pensamientos son muy apreciados, gracias!

$\mathcal{L}(k, l, \lambda, \mu_k, \mu_l) = -rk - wl + \lambda [(k + 1)^\alpha l^{1 - \alpha} - y] + \mu_k k + \mu_l l$ `

1. Con respecto a k:

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial k} = -r + \lambda \alpha (k + 1)^{\alpha - 1} l^{1 - \alpha} + \mu_k$

2. Con respecto a l:

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial l} = -w + \lambda (1 - \alpha) (k + 1)^\alpha l^{-\alpha} + \mu_l$

3. Con respecto a :

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = (k + 1)^\alpha l^{1 - \alpha} - y$

Consideremos ahora el caso concreto en el que $k = 0$ et $l > 0$ :`

1. $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial k}\bigg|_{k=0} = -r + \lambda \alpha l^{1 - \alpha} + \mu_k \le 0$

2. $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial l}\bigg|_{k=0} = -w + \lambda (1 - \alpha) l^{-\alpha} = 0$

3. $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}\bigg|_{k=0} = l^{1 - \alpha} - y = 0$

• $k^* = 0$
• $l^* = y^{\frac{1}{1-\alpha}}$
• $ = \frac{w}{1-\alpha}y^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}$

1. Resuelven para una condición en $y$ (ver captura de pantalla) coherente con $k = 0$ pero su falta de $\mu_k$ para nuestra no negatividad en $k$ resultados en una condición diferente a la que yo obtendría, que incluiría $\mu_k$ . ¿Por qué no han utilizado explícitamente $\mu_k$ et $\mu_l$ ¿como yo?
2. También tengo una condición extraña en $\mu_k$ simplemente sustituyendo $l^*$ et $^*$ ¿se ve bien?

• $\mu_k \le r - \frac{\alpha wy^{\frac{1}{1-\alpha}}}{1-\alpha}$

Captura de pantalla de la respuesta mostrando la condición en y

Answer 1

Lo único que cambia es el $k$ condición de primer orden.

El que tienes con la restricción de no negatividad multiplicador de Lagrange es

$-r + \lambda \alpha L^{1-\alpha} + \mu_k \leq 0$

Substracción $\mu_k$ y puesto que $\mu_k \geq 0$ ,

$-r + \lambda \alpha L^{1-\alpha} \leq - \mu_k \leq 0$

Por lo tanto,

$-r + \lambda \alpha L^{1-\alpha} \leq 0$ .

Esta última desigualdad es la que se utiliza en la solución de la captura de pantalla.

Esto es coherente con $k = 0$ porque mientras se cumpla esta última desigualdad, existen valores de $\mu_k \geq 0$ tal que su desigualdad se cumple.

Ya has encontrado esos valores de $\mu_k$ .

Answer 2

Amplío aquí mi pregunta ya que sigue dando problemas. ¡Es un verdadero dolor por lo que cualquier pensamiento adicional son muy apreciados!

• Creo que dada su es una posibilidad $k = 0$ entonces el Lagrangiano debe tener una restricción de no negatividad en $k$ es decir $k \ge 0 \implies -k \le 0$

• Esto significa que su Lagrangiano carece de esta restricción y el multiplicador correspondiente $_2$ es decir $ + _2(k)$

• Claramente piensan que esto es necesario ya que consideran el caso de $k = 0$ es decir, esta restricción es vinculante.

• En cuyo caso no entiendo por qué nunca utilizan $_2$ ? Tampoco veo por qué es trivial, ya que incluir $_2$ parece arruinar el análisis al final. Ver en rojo en la captura de pantalla.