Maximización del beneficio con una función de producción probabilística simple (problema práctico básico)

Question

Un restaurante se da cuenta de que en los días más calurosos hay menos pedidos de su sopa del día, así que rebaja el precio habitual de 7USD a 5USD en los días más calurosos. El coste de elaboración de la sopa viene dado por $$C = 0.1{q}^{2}+q+20$$ donde $q$ son los platos de sopa al día y la probabilidad de que haga calor es 0,45. ¿Cuánta sopa debería hacer el restaurante si quiere maximizar los beneficios de la sopa del día? $$---------------------------------$$

Creo que necesitamos una función de "ingresos esperados", pero esto es de lo que no estoy seguro porque mi libro de texto no tiene ejemplos como este. Supongo que es $$R = 7*{q}_{cold} + 5*{q}_{warm} \\ R = 7*0.55*q + 5*0.45*q \\ R = 6.1q$$ Entonces maximizamos el beneficio sobre la cantidad: $$\pi = R-C \\ \pi = 6.1q-(0.1{q}^{2}+q+20) \\ \pi = - 0.1{q}^{2}+5.1q -20 \\ \frac{d\pi}{dq} = -0.2q + 5.1 = 0 \\ q = 25.5$$ Así que el restaurante debería preparar sopa para 25,5 platos, dada la incertidumbre sobre el tiempo. No tengo claves de respuesta, así que busco una confirmación o corrección.

Answer 1

Para un gran $n$ la cantidad vendida en $n$ días serán $0.45n * 20 + 0.55n * 30 = 25.5n$ considerando que habrá $0.45n$ días cálidos en los que el precio/copa será $\\\$ 5$ y habrá $0.55n$ días fríos en los que el precio/copa será $\\\$ 7$ . Por término medio, venderá $\frac{25.5n}{n} = 25.5$ tazas/día.

Esto significa que la cantidad vendida al día, por término medio, será de $25.5$ y el beneficio (por día) será $\\\$ \frac{0,45n * 20 + 0,55n * 70}{n} = \ \$ \frac{47.5n}{n} =\\\$ 47.5$ .