¿Es correcta mi solución para encontrar la demanda hicksiana? Maximizar $x_1^{1/2} + x_2^{1/2}$ sujeta a la restricción presupuestaria

Question

Maximice $x_1^{\frac{1}{2}} + x_2^{\frac{1}{2}}$ sujeta a la restricción presupuestaria $p_1x_1+p_2x_2=m$

Establecer el Lagrange y encontrar las condiciones de primer orden:

$L(x_1, x_2, \lambda)=x_1^{\frac{1}{2}} + x_2^{\frac{1}{2}}+\lambda(p_1x_1+p_2x_2-m)$

$\frac{\partial L}{\partial x_1}=\frac{1}{2}x_1^\frac{-1}{2}+\lambda p_1=0$

$\frac{\partial L}{\partial x_2}=\frac{1}{2}x_2^\frac{-1}{2}+\lambda p_2=0$

Igualando estos,

$2p_2x_1^\frac{-1}{2}=2p_1x_2^\frac{-1}{2}$

Resolución de $x_1$ y $x_2$ obtenemos

$x_1=\frac{p_2^2x_2}{p_1^2}$

$x_2=\frac{p_1^2x_1}{p_2^2}$

Sustituyendo estos datos en la restricción presupuestaria y resolviendo para hallar la demanda hicksiana ( $x^*(p,m)$ ),

$p_1x_1+p_2x_2=m$

$\frac{p_2^2x_2}{p_1}+p_2x_2=m$

Resolución de $x_2$ ,

$x_2(\frac{p_2^2}{p_1}+p_2)=m$

$x_2^*=\frac{m}{p_2}.\frac{p_2}{p_1+p_2}=\frac{m}{p_1+p_2}$

Hacemos lo mismo para $x_1$ y obtenemos

$x_1^*=\frac{m}{p_1+p_2}$

Ahora tenemos las demandas hickdianas, las sustituimos en la función objetivo para obtener la función de utilidad indirecta y por dualidad, sabemos, $V(p,E(p,u))=u$ ,

$V(p,m)=(\frac{m}{p_1+p_2})^\frac{1}{2}+(\frac{m}{p_1+p_2})^\frac{1}{2}=u$

Resolviendo esto para encontrar m,

$\frac{2m^\frac{1}{2}}{p_1^\frac{1}{2}+p_2^\frac12}=u$

$m^\frac{1}{2}=\frac{u}{2}(p_1^\frac{1}{2}+p_2^\frac{1}{2})$

$m=[\frac{u}{2}(p_1^\frac{1}{2}+p_2^\frac{1}{2})]^2$

Finalmente también sabemos por dualidad que $E(p,V(p,m))=m$ Por lo tanto

$E=[\frac{u}{2}(p_1^\frac{1}{2}+p_2^\frac{1}{2})]^2$

Para hallar la demanda hicksiana utilizamos el lema de Shephards (tomar la derivada parcial de la función de gasto)

$\frac{\partial E}{\partial p_i}=2.\frac{u}{2}(p_1^\frac{1}{2}+p_2^\frac{1}{2}).\frac{1}{2}.\frac{u}{2}.p_1^\frac{-1}{2}$

Simplificando

$h_1^*=\frac{u^2}{4}.p_1^\frac{-1}{2}(p_1^\frac{1}{2}+p_2^\frac{1}{2})=\frac{u^2}{4}(p_1^\frac{-1}{4}+p_2^\frac{1}{2})$

¿Es correcto? (He intentado dejar muy claro cada uno de mis pasos para que sea fácil de seguir)

Answer 1

Esto es lo que estoy pensando (y podría haber cometido un error ya que el álgebra CES es un poco tediosa)

Primero tenemos la condición MRS de Lagrange que se reduce a

$$p_1 x_2^{\rho-1} = p_2 x_1^{\rho-1}$$

a partir de aquí siempre intento reconstruir la función de utilidad (porque es una constante igual a la utilidad máxima o en este caso sabes que satisfará la restricción y será u). Para que aparezca la función de utilidad hago lo siguiente

$$p_1^{\frac{\rho}{\rho-1}} x_2^{\rho} = p_2^{\frac{\rho}{\rho-1}} x_1^{\rho}$$

A continuación añado $p_1^{\frac{\rho}{\rho-1}} x_1^{\rho}$ a ambas partes

$$p_1^{\frac{\rho}{\rho-1}} x_2^{\rho} + p_1^{\frac{\rho}{\rho-1}} x_1^{\rho}= p_1^{\frac{\rho}{\rho-1}} x_1^{\rho}+p_2^{\frac{\rho}{\rho-1}} x_1^{\rho}$$

y aislar

$$p_1^{\frac{\rho}{\rho-1}}( x_2^{\rho} + x_1^{\rho})= (p_1^{\frac{\rho}{\rho-1}}+p_2^{\frac{\rho}{\rho-1}} )x_1^{\rho}$$

la función de utilidad aparece en el LHS e impongo la restricción $$p_1^{\frac{\rho}{\rho-1}}u= (p_1^{\frac{\rho}{\rho-1}}+p_2^{\frac{\rho}{\rho-1}} )x_1^{\rho}$$

encontrar

$$\frac{p_1^{\frac{\rho}{\rho-1}}}{(p_1^{\frac{\rho}{\rho-1}}+p_2^{\frac{\rho}{\rho-1}} )}u=x_1^{\rho}$$

que se reduce a

$$\frac{p_1^{\frac{1}{\rho-1}}}{(p_1^{\frac{\rho}{\rho-1}}+p_2^{\frac{\rho}{\rho-1}} )^\frac{1}{\rho}}u^\frac{1}{\rho}=x_1$$

Inserción del valor de $\rho = 1/2$ Recibo

$$\frac{p_1^{-2}}{(p_1^{-1}+p_2^{-1} )^2}u^2=x_1$$

Answer 2

Basta con resolver el siguiente problema para obtener directamente las Demandas Hicksianas: $$\begin{aligned} &&\min_{x_1,x_2\geq0} \quad & p_1x_1+p_2x_2\\ &&\textrm{s.t.} \quad & \sqrt x_1 + \sqrt x_2 \geq \mu\\\\ &&\min_{x_1\geq0} \quad &p_1x_1+p_2(\mu-\sqrt x_1)^2 \\ \end{aligned}$$

obtenemos el segundo problema que implica sólo $x_1$ utilizando la sustitución $\sqrt x_2 =\mu -\sqrt x_1$ ya que la restricción se vincula en el óptimo.

Ahora, dejemos que $f(x_1)=p_1x_1+p_2(\mu-\sqrt x_1)^2$ definido para $x_1\geq 0$ . Veamos si $f(x_1)$ es convexo o cóncavo en todo su dominio.

$$\begin{eqnarray} f'(x_1)=p_1+p_2-\frac{p_2\mu}{\sqrt x_1}\\ f''(x_1)=\frac{p_2 \mu}{2x_1^{\frac{3}{2}}}>0 & \quad \text{for }x_1\geq 0 \end{eqnarray}$$

desde $f(x_1)$ es convexa en todo su dominio si existe un punto estacionario $x_1^*\geq 0$ entonces es la solución a nuestro problema. Los puntos estacionarios se pueden obtener por: $f(x_1)\overset{set}{\equiv}0$ produce $x_1=(\frac{p_2\mu}{p_1+p_2})^2\geq 0$

Por lo tanto, las funciones de demanda hicksianas son: $(x_1^h,x_2^h)(p_1,p_2,\mu)=((\frac{p_2\mu}{p_1+p_2})^2,(\frac{p_1\mu}{p_1+p_2})^2)$