¿Se pueden utilizar las griegas (delta,gamma,theta) para demostrar que la fórmula de compra de Black-Scholes satisface la EDP de Black-Scholes?

Question

Si es así, ¿hay alguna derivación en algún sitio que lo demuestre? Me dijeron que esto podría hacerse en una clase, pero no veo cómo es posible.

Answer 1

Es bastante sencillo si se introducen las fórmulas de las griegas en la EDP.

Preliminares:

$\Delta =\frac{\partial c_t}{\partial S_t}=\Phi(d_1)$

$\Gamma=\frac{\partial^2 c_t}{\partial S_t^2}=\frac{\phi(d1)}{S_t\sigma\sqrt{u}}$

$\Theta=\frac{\partial c_t}{\partial t}=-rKe^{ru}\Phi(d_2)-S_t\phi(d_1)\frac{\sigma}{2\sqrt{u}}$

La EDP de Black Scholes:

\begin{eqnarray} rc_t&=&\Theta+rS_t\Delta + \frac{1}{2}S_t^2\sigma^2\Gamma\\ RHS&=&-rKe^{ru}\Phi(d_2)-S_t\phi(d_1)\frac{\sigma}{2\sqrt{u}}+rS_t\Phi(d_1)+\frac{1}{2}S_t^2\sigma^2 \frac{\phi(d1)}{S_t\sigma\sqrt{u}}\\ &=&-rKe^{ru}\Phi(d_2)-\frac{S_t\phi(d_1)\sigma}{2\sqrt{u}}+rS_t\Phi(d_1)+ \frac{S_t\sigma\phi(d1)}{2\sqrt{u}}\\ &=&rS_t\Phi(d_1)-rKe^{ru}\Phi(d_2)\\ &=&rc_t\\ &=&LHS \end{eqnarray}