Asignaciones eficientes de Pareto para una función de utilidad no monótona y casi lineal

Question

Supongamos una economía de intercambio con 2 consumidores y 2 bienes $x_1$ y $x_2$ . Arreglar algunos $\alpha_1$ y $\alpha_2$ . La utilidad para el consumidor $i$ se define por: $$u_i(x_{1i},x_{2i}) = x_{1i} - |x_{2i} - \alpha_{i}|.$$

¿Cómo encontrar todas las asignaciones eficientes de Pareto para esta economía?

Answer 1

Dada la economía:

• Funciones de utilidad: $u_A(x_A,y_A) = x_A - |y_A-\alpha_A|$ , $u_B(x_B,y_B) = x_B - |y_B-\alpha_B|$ donde $\alpha_A \geq 0$ y $\alpha_B\geq 0$ se dan.
• $\omega = (\omega_X, \omega_Y)$ donde $\omega_X>0$ y $\omega_Y>0$

El conjunto de asignaciones factibles viene dado por

$\mathcal{F} =\{((x_A,y_A),(x_B,y_B))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+|x_A+x_B=\omega_X \ \wedge \ y_A+y_B=\omega_Y \} $

El conjunto de asignaciones eficientes de Pareto viene dado por

$\{((x_A,y_A),(x_B,y_B))\in\mathcal{F}|\min(\alpha_A,\omega_Y-\alpha_B)\leq y_A \leq \max(\alpha_A,\omega_Y-\alpha_B)\}$

Answer 2

Cambiemos el nombre de las variables $x := x_1$ , $y:= x_2$ .

Consideremos en primer lugar el conjunto de asignaciones factibles tales que $y_i \neq \alpha_i$ tanto para $i = A,B$ .

En este conjunto, ambas utilidades son completamente diferenciables.

El problema de optimización que queremos resolver es

$\max x_A - |y_A - \alpha_A|$

$s.t. x_B - |y_B - \alpha_B| = \overline{U}$

y las restricciones de dotación

$x_A + x_B = \omega_x$

$y_A + y_B = \omega_y$

donde $(\omega_x,\omega_y)$ son las dotaciones totales de $(x,y)$ .

Dado que ambas utilidades son completamente diferenciables en esta región, la condición de eficiencia es

$MRS_A = MRS_B$

$\frac{\frac{\partial U_A}{\partial x_A}}{\frac{\partial U_A}{\partial y_A}} = \frac{\frac{\partial U_B}{\partial x_B}}{\frac{\partial U_B}{\partial y_B}} $

Nota $\frac{d}{dx} |x| = sign(x)$ para $x \neq 0$ .

$\frac{1}{- sign(y_A - \alpha_A)} = \frac{1}{- sign(y_B - \alpha_B)}$

$sign(y_A - \alpha_A) = sign(y_B - \alpha_B)$

Esta ecuación se cumple exactamente cuando $\{y_A - \alpha_A, y_B - \alpha_B \}$ son ambas positivas o ambas negativas.

Ahora los puntos en los que para algún agente $i$ sucede que $y_i = \alpha_i$ hagamos un gráfico de contorno de las curvas de indiferencia.

Para el gráfico de contorno, observe a partir del $MRS_i$ que las curvas de indiferencia son dos segmentos de línea conectados, cada uno con pendiente $-MRS_i = sign(y_i - \alpha_i)$ .

Mantengamos constante la curva de indiferencia de un agente. Elijamos un punto en el que $y_i = \alpha_i$ para $i$ . Se puede comprobar que moviéndose a lo largo de la curva de indiferencia, sólo se puede pasar a una curva de indiferencia igual o peor para el otro agente.

Esto implica que los puntos en los que $y_i = \alpha_i$ para $i$ también son eficientes.

Por lo tanto, la curva contractual/conjunto de coeficientes $CC$ viene dado por

$CC = \{ ((x_A,y_A),(x_B,y_B)) \in \mathcal{F} : [y_A \geq \alpha_A \text{ and } y_B \geq \alpha_B] \text{ or } [y_A \leq \alpha_A \text{ and } y_B \leq \alpha_B] \} $

donde $\mathcal{F}$ es el conjunto de asignaciones factibles (en las que se cumplen las restricciones de dotación), es decir, los puntos de la caja de Edgeworth.

Aquí mostraré todos los $11$ casos posibles gráficamente dependiendo de en qué parte de la caja estén los $\alpha_i$ relativas entre sí y a las restricciones de dotación (los signos que escribo a la derecha del recuadro son los signos correspondientes de las $y_i - \alpha_i$ ):

Nota: Lo que aparece en rojo corresponde al agente $A$ y lo que está en negro corresponde al agente $B$ .

4. $CC$ es la región de abajo.
5. $CC$ es la región anterior.
6. $CC$ es la caja entera.

7. $CC$ es la caja entera.

8. $CC$ es la región de abajo.
9. $CC$ es la región anterior.

10. $CC$ es el borde inferior.
11. $CC$ es el borde anterior.

Nota para 10) y 11), mi descripción algebraica de $CC$ no da ninguna solución, lo que significa que hay que buscar gráficamente soluciones en la frontera.