Función de utilidad logarítmica Álgebra

Question

Pregunta:

Me han dicho lo siguiente (por un esquema de notas de examen):

Utilizando $a + b =1$

$a[ln(\frac{am}{p_1})] + b[ln(\frac{bm}{p_2})] = ln(m) - aln(p_1) - bln(p_2)$

No puedo conseguir que esto se mantenga sin la suposición adicional $a^ab^b = 1$

Porque mi ecuación Log se convierte en:

• $ln\frac{m}{p_1^ap_2^b} = ln\frac{m^{a+b}a^ab^b}{p_1^ap_2^b}$

Contexto:

Se nos da

$U(x_1,x_2) = aln(x_1) + bln(x_2) \\ s.t. \\ x_1p_1 +x_2p_2 = m$

Y una función Valor $v(p_1, p_2, m) = ln(m) - aln(p_1) - bln(p_2)$

Tenemos que encontrar la condición para $a$ y $b$ tal que

Dadas las funciones de demanda marshellianas:

• $x_1 = \frac{am}{p_1}$
• $x_2 = \frac{bm}{p_2}$

$U(x_1,x_2) = V$

Es decir $aln(\frac{am}{p_1}) + bln(\frac{bm}{p_2}) = ln(m) - aln(p_1) - bln(p_2)$

Me parece que la condición $a +b = 1$ ¿no es suficiente?

Answer 1

$U(x^\star,y^\star) = a \ln( \frac{am}{p_1}) + b \ln(\frac{bm}{p_2}) $

$= a \ln(a) + a \ln(m) - a \ln(p_1) + b \ln(b) + b \ln(m) - b \ln(p_2) $

Desde $a + b = 1$ ,

$= \ln(m) - a \ln(p_1) - b \ln(p_2) + [a \ln(a) + b \ln(b)] $

$= V(p_1,p_2,m) + [a \ln(a) + b \ln(b)]$

Tengo tu $V$ más algún soporte.

Así que necesitamos el $[\text{bracket}] = 0$ .

$a \ln(a) + b \ln(b) = ln(a^a) + ln(b^b) = ln(a^a b^b) = 0$

Exponenciando,

$a^a b^b = 1$

Desde $a+b=1$ podemos reescribir esta condición en términos de una sola variable como

$a^a (1-a)^{1-a} = 1$

Ahora estudiaremos el gráfico de $f(a) = a^a (1-a)^{1-a}$ mediante el uso de derivados.

Obsérvese que el interior del dominio de esta función es $(0,1)$ definiéndose la función en función de los límites en los puntos extremos.

Para poder aplicar la regla logarítmica, tomamos el logaritmo de la función

$\ln(f) = a \ln(a) + (1-a) \ln(1-a)$

Diferenciar,

$\frac{f’}{f} = \ln(a) + 1 - \ln(1-a) - 1$

$\frac{f’}{f} = \ln(a) - \ln(1-a)$

$\frac{f’}{f} = \ln(\frac{a}{1-a})$

$f’(a) = a^a (1-a)^{1-a} \ln(\frac{a}{1-a})$

El único factor de la derivada que puede ser 0 en un punto interior del dominio es $\ln(\frac{a}{1-a})$ .

Por lo tanto,

$f’(a) = 0 \iff \ln(\frac{a}{1-a}) = 0 \iff \frac{a}{1-a} = 1$

$\iff a = 1-a \iff 2a = 1 \iff a = \frac{1}{2}$

Así que tenemos un extremo de $f$ en $a = \frac{1}{2}$ .

Por el teorema del intervalo cerrado, calculamos los valores de $f$ en los puntos límite para obtener el rango de $f$ .

Intuitivamente, el hecho de que hayamos obtenido un único extremo interior implica que el grafo de $f$ tiene forma de U.

Voy a suponer que recuerdas del cálculo diferencial que $lim_{x \to 0} x^x = 1$ .

• En $a = 0$

$lim_{a \to 0} a^a (1-a)^{1-a} = \lim_{a \to 0} a^a \cdot \lim_{a \to 0} (1-a)^{1-a} = 1 \cdot 1 = 1 $

• En $a = 1$

$\lim_{a \to 1} a^a (1-a)^{1-a} = \lim_{a \to 1} a^a \cdot \lim_{a \to 1} (1-a)^{1-a} = 1 \cdot \lim_{b \to 0} b^b = 1 $

En el extremo interior $a = \frac{1}{2}$

$f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2})^\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Esto implica $f$ va de $1$ hasta $\frac{1}{2}$ y luego de vuelta a $1$ .

Por lo tanto, la condición $f(a) = 1$ se cumple exactamente en los puntos extremos $a = 0$ y $a = 1$ .

Recordando $a+b = 1$ podemos concluir que $(a,b) = (1,0) \text{ or } (0,1)$ .

Intuitivamente, esto significa que sólo uno de los bienes produciría utilidad, y el consumidor simplemente gastaría todos sus ingresos en ese bien, comprando $\frac{m}{p_i}$ unidades del mismo.

He aquí la gráfica de la función $f(a) = a^a (1-a)^{1-a}$