Cómo derivar la función de costes a corto plazo

Question

Dada la función de producción $f(K, L)=\min\{3K,2L\}$ el procedimiento para hallar la función de costes a largo plazo sería utilizar la condición: $3K=2L=Y$ donde $K=\frac{\overline{Y}}{3}$ y $L=\frac{\overline{Y}}{2}$ . $K$ son unidades de capital; $L$ son unidades de trabajo; $Y$ son unidades de producción.

Ahora se me pide que encuentre la función de costes a corto plazo en la que la mano de obra se fija en $L>\frac{\overline{Y}}{2}$ . No estoy seguro de cómo enfocar el problema en este caso.

Answer 1

Desde $L$ se fija en algún $\overline{L} > \frac{\overline{Y}}{2}$ entonces $\overline{Y} < 2L$ .

Esto implica la $\min$ término igual a $3K$ .

Por lo tanto, $f(K,\overline{L}) = 3K$ .

Con esto, el problema que queremos resolver es

$\min_K w\overline{L} + rK$

s.t. $3K \geq \overline{Y}$

Resolución de $K$ obtenemos $K \geq \frac{\overline{Y}}{3}$

Es evidente que la función objetivo se minimiza en la igualdad, por lo que obtenemos $K = \frac{\overline{Y}}{3}$

Introduciendo la función objetivo, la función de coste mínimo a corto plazo es

$C(r,w,\overline{Y};\overline{L}) = w \overline{L} + \frac{r \overline{Y}}{3}$

Answer 2

El largo plazo se define como el período de tiempo en el que todos los insumos pueden modificarse según el deseo de la empresa, es decir, para una función de producción de la forma $f(K,L)$ ambos $K$ y $L$ son variables en la determinación de la producción.

El problema de minimización de costes a largo plazo es: $$\begin{align} \min_{K,L} \quad &wL+rK \\ \textrm{s.t.} \quad& \min(3K,2L)\geq \bar Y \end{align}$$

La restricción se vincula en el punto óptimo y la resolución del problema de optimización produce demandas de entrada condicionales $K^d(w,r,\bar Y)=\frac{\bar Y}{3}$ y $L^d(w,r,\bar Y)=\frac{\bar Y}{2}$ . Por lo tanto, la función de coste LR es: $C(w,r,\bar Y)=\bar Y(\frac{w}{2}+\frac{r}{3})$

El corto plazo se define como el período de tiempo en el que uno o más insumos son fijos.

El problema de minimización de costes a corto plazo es: $$\begin{align} \min_{K} \quad & w \bar L+r K \\ \textrm{s.t.} \quad & \min(3K,2 \bar L)\geq\bar Y \\ \end{align}$$

para la restricción $\min(3K,2\bar L)\geq \bar Y$ para sostener necesitamos $3K\geq \bar Y$ y $2\bar L\geq \bar Y$

por lo tanto podemos reescribir el problema como: $$\begin{align} \min_{K \geq \frac{\bar{Y}}{3}} \quad & w \bar L+r K \\ \end{align}$$

tenga en cuenta que $w\bar L+rK$ está aumentando en $K$ por lo tanto para resolver el problema anterior establecemos $K$ al valor más bajo que pueda tomar.
Así, $K^d_{SR}(w,r,\bar L, \bar Y)=\frac{\bar Y}{3}$ y en consecuencia la función de coste SR es: $C_{SR}(w,r,\bar L, \bar Y)=w\bar L+r\frac{\bar Y}{3}$