Variación cuadrática del movimiento browniano mixto y del proceso de Poisson

Question

Estoy intentando resolver este problema en el que se nos pide que calculemos la variación cuadrática de un proceso. Supongo que es necesario aplicar la fórmula de Ito, pero no estoy seguro de cómo obtener la solución correcta. Además, tampoco estoy seguro de cómo aplicar la fórmula de Ito a una función que incluye integrales como ésta. Estoy familiarizado con la fórmula básica de Ito y sé cómo aplicarla a funciones más sencillas.

Sea N un proceso (P,F)-Poisson con parámetro $\lambda$ > 0 y definir el proceso: X = $(X)_t$

$$ X_t = 2 + \int_{0}^{t} \sqrt{s} dW_s + N_t $$

Compute $[X]_t$

¿es correcto este intento?

$$ X_t = 2 + \int_{0}^{t} \sqrt{s} dW_s + N_t $$

que podemos escribir en forma diferencial como:

$$ dX_t = \sqrt{t}dW_t + dN_t $$

entonces la variación cuadrática viene dada como

$$ d[X_t] = dX_t * dX_t = (\sqrt{t}dW_t + dN_t) * (\sqrt{t}dW_t + dN_t) = tdt + dNt $$

He supuesto que los términos cruzados se cancelan. Entonces podemos reescribirlo en forma integral para obtener $[X_t]$

$$ [X_t] = \int_{0}^{t} t dt + \int_{0}^{t} dN_t = \frac{t^2}{2} + N_t $$

Si este intento es correcto, no sé muy bien por qué $dN_t * dN_t = dN_t$ sería cierto en el paso de covariación cuadrática.

Answer 1

Su intento es correcto.

La variación cuadrática para un proceso de Poisson es: $$[N]_t=\lim_{\sup(t_{i+1}-t_i)\rightarrow0}\sum_{i:t_i\leq t}(N_{t_{i+1}}-N_{t_i})^2$$ para alguna partición $\Pi(t)=0\leq t_0\leq\dots\leq t_n\leq t$ del segmento $[0,t]$ . Simplemente elige la partición tal que los tiempos de salto $\tau_1\leq\dots\leq\tau_k$ de $N$ entre $0$ y $t$ se incluyen en $\Pi(t)$ entonces dado $N_{\tau_j}-N_{\tau_j^-}=\Delta N_{\tau_j}$ : $$[N]_t=\sum_{j:\tau_j\leq t}\Delta N_{\tau_j}^2$$ Pero $\Delta N_{\tau_j}$ es siempre igual a 1, y también lo es $\Delta N_{\tau_j}^2$ por lo que la variación cuadrática del proceso de Poisson salta por $1$ siempre que $N$ saltos. En consecuencia: $$\textrm{d}[N]_t=\textrm{d} N_t$$