¿Por qué utilizamos la letra $q$ por dividendos?

Question

En los modelos de fijación de precios de derivados, a menudo utilizamos la letra $q$ para designar la rentabilidad por dividendo, es decir: $$\textrm{d}S_t=S_t((\mu-q) \textrm{d}t+\sigma\textrm{d}W_t)$$ para el proceso de precios $S$ de las acciones.

¿Existe alguna razón histórica para esta convención de notación? ¿O tal vez una referencia a algún término que desconozco?

Me imagino la carta $d$ podría evitarse gracias al uso de diferenciales $\textrm{d}t$ .

Este parámetro específico me llama la atención porque es el único parámetro o función común del modelo que utiliza una letra romana sin referencia directa a un término común como $r$ por tarifa, $S$ para las acciones, $V$ por valor o $C$ para llamar.

Answer 1

Parece que no pasó mucho tiempo antes de que se considerara en la literatura el caso de los dividendos continuos. El artículo de Robert Merton de 1973 "Theory of Rational Option Pricing" considera el caso de los dividendos en la sección 7 y lo denota con un $D$ .

En "An Overview of Contingent Claims Pricing" de 1988 por John Hull y Alan White $q$ y la 2ª edición de "Options, futures, and other derivatives" de Hull (no encuentro la primera) también lo hace. Por desgracia, no citan la fuente de esta notación y no he encontrado ninguna pista interesante en la sección de referencias del documento.

La notación no se puso inmediatamente de moda:

En el documento de 1990 de David C. Leonard, Michael E. Solt "On using the Black-Scholes Model to Value Warrants" la rentabilidad por dividendo sigue siendo la siguiente $d$ . El libro de 1996 "American Options on Dividend-Paying Assets" de Mark Broadie, Jérôme Detemple utilizó $\delta$ . En "American options with stochastic dividends and volatility: A nonparametric investigation" de "Mark Broadie, Jérôme Detemple, Eric Ghysels, Olivier Torres" de 2000 es lo mismo.

Para responder a la pregunta de por qué: Porque Hull lo hace desde hace mucho tiempo y mucha gente lee su libro. Hice una conjetura por qué Hull elegir $q$ en los comentarios:

Si tuviera que adivinar es porque $q$ está alfabéticamente cerca de $r$

En la 2ª edición, Hull introduce $q$ como a continuación. Unas páginas más atrás $r$ se introduce de forma similar y esta "cercanía" de las definiciones podría haber sugerido esta convención a Hull con fines didácticos.

Una explicación más descabellada es que la fuente sea la discusión en "An Overview of Contingent Claims Pricing" que también se muestra a continuación. La resta de poco $q$ de $r$ es necesario tener la deriva correcta bajo el $\mathbb{Q}$ medida. Esto es aún más inverosímil puesto que Hull y White no discuten la valoración neutral al riesgo en términos de la medida neutral al riesgo $\mathbb{Q}$ medida.