Confusión sobre la fórmula del proceso de ganancia en un mercado financiero

Question

En este wikipedia, consideramos el siguiente mercado financiero

A continuación se indican las fórmulas de las existencias

Y el proceso de ganancia de una cartera $\pi$ se define de forma que

Por lo que tengo entendido, el primer término de la fórmula del proceso de ganancias se debe al activo sin riesgo, lo que significa que consideramos cantidades no descontadas (de lo contrario, el activo sin riesgo no se consideraría en la expresión de las ganancias, supongo). Pero entonces el segundo término proviene de la fórmula descontada de los activos de riesgo. Por lo tanto, no tengo muy claro cuáles son exactamente los cálculos que hay detrás de esta fórmula y si utilizamos cantidades descontadas o no.

Pensaba que la fórmula para el proceso de ganancia venía dada aproximadamente por

\begin{equation} G(t) = \int_0^t \pi_r \frac{dS_r}{S_r} \end{equation} pero esto no parece corresponderse con Wikipedia.

Me encantaría que alguien me explicara un poco más al respecto, sobre todo porque es difícil encontrar alguna referencia para este proceso o para el de ganancia en general. Gracias de antemano.

Answer 1

@nbbo2 Muchas gracias por proporcionar esta útil referencia, le he echado un vistazo y creo que ahora lo entiendo :) Para simplificar, tomemos $A \equiv 0$ , $\delta \equiv 0$ et $r(s) \equiv r$ (de todos modos, no es muy importante). Utilizando la expresión no descontada del proceso de precios, se tiene que

\begin{align} dG(t) &= \sum_i \pi_i(t) \frac{dS_i(t)}{S_i(t)} \\ &= \sum_i \pi_i(t) b_i(t) dt + \sum_i \pi_i(t) \sum_j \sigma_{ij}dW_j(t) \\ &= \sum_i \pi_i(t) (b_i(t) - r) dt + \sum_i \pi_i(t)rdt + \sum_i \pi_i(t) \sum_j \sigma_{ij}dW_j(t) \\ \end{align} Pero ahora desde $\frac{\pi_i(t)}{G(t)}$ es la proporción de riqueza invertida en el activo i en el momento t, es evidente que $\sum_i \frac{\pi_i(t)}{G(t)} = 1$ y así \begin{align} \sum_i \pi_i(t)rdt &= \sum_i \frac{\pi_i(t)}{G(t)} G(t)rdt \\ &= G(t)rdt \end{align} Por lo tanto, obtenemos finalmente \begin{align} dG(t) = \sum \pi_i(t) (b_i(t) - r) dt + G(t)rdt + \sum_i \pi_i(t) \sum_j \sigma_{ij}dW_j(t) \end{align} que es lo que se obtiene en el artículo de Wikipedia.