El valor del tiempo de opción es Nd1-Nd2

Question

No encuentro en ningún sitio la siguiente afirmación (reordenación de la fórmula Black-Scholes) :

$C(0, S) = e^{-rT}N_2[F-K] + [N_1-N_2]S$

$F$ siendo el delantero, se lee como una descomposición directa en valor intrínseco (1er término) y valor extrínseco/temporal (2º término). Esto puede responder a la famosa pregunta de cuál es la diferencia entre $Nd_1$ y $Nd_2$ (diferencia matemática y también de significado): La diferencia es el valor temporal de la opción.

Edita:

Sólo quiero añadir que para una pequeña volatilidad log-normal $\sigma\sqrt{T} < 1 $ : $$N_1 - N_2 = N(d_1) -N(d_1 - \sigma\sqrt{T}) \approx \sigma\sqrt{T}n_1$$ Por lo tanto, como $\mathcal{Vega} = S\sqrt{T}n_1$ el valor temporal "especulativo" es $$ [N_1 - N_2]S = \sigma\mathcal{Vega} = \sigma\sqrt{T}n_1S $$

Y: $$N_2 \approx N_1 - \frac{\sigma\mathcal{Vega}}{S} = \Delta - \frac{\sigma\mathcal{Vega}}{S} $$

Así, para los pequeños $\sigma\sqrt{T}$ : $$C = \left[\Delta - \frac{\sigma\mathcal{Vega}}{S} \right] [F - K] + \sigma\mathcal{Vega}$$ El "valor intrínseco" del 1er término no es negativo para OTM como se menciona en el comentario (bc delta $\approx$ 0 y vega > 0).

ATM el 1er término (valor intrínseco) es cero, por lo que el precio es lineal en volatilidad y es puramente especulativo (piense en vega como una aproximación al diferencial de compra-venta). Además, la vega ATM es máxima $\mathcal{Vega}_{max} = 0.4S\sqrt{T}$ lo que hace que el precio ATM sea igual al valor temporal máximo de la opción, ambos iguales a $0.4S\sigma\sqrt{T}$ .

La diferencia $N_1 - N_2$ el valor temporal y la vega (vega cash) normalizada por S son tres caras de la misma moneda.

Answer 1

Qué bien. A partir de

$$C = e^{-r T}N_2 (F-K) + (N_1 - N_2) S$$

podemos sustituir $F= e^{r T}S$ (sin caso de dividendo) por lo que obtenemos

$$C = e^{-r T}N_2(e^{r T} S-K) + (N_1 - N_2) S =$$

$$= N_1 S -e^{-r T}N_2 K $$

que no es más que la fórmula de Black Scholes de 1971.

El primer término $e^{-r T}N_2 (F-K)$ es una nueva definición de "valor intrínseco", diferente de la tradicional, podría llamarse "valor intrínseco a plazo" o algo así. Es el valor actual del forward menos el strike, multiplicado por la probabilidad $N_2$ (a grandes rasgos, la probabilidad de ejercicio). Podría ser negativa para una call OTM (raro). Entonces el segundo $ (N_1 - N_2) S$ es la forma correspondiente del valor temporal que, de nuevo, merece un nuevo nombre (¿el "valor especulativo"?).