Derivadas parciales mixtas en la función de beneficios

Question

$\pi(x,z) = p(a\ln(x) + b\ln(z)) - w_xx - w_zz$

Pregunta 1:

Utilizando las condiciones de primer orden, obtenemos:

$x = \frac{pa}{w_x}$ $z = \frac{pb}{w_z}$

¿Cómo llamamos a estas funciones de demanda de insumos en función del precio, es decir, son simplemente funciones de demanda no compensadas como en la teoría del consumidor? . Es decir, cuando es en función de la producción, las llamamos contingente

Pregunta 2

Me preguntan "¿Cuál es la relación entre $x$ y $z$ ¿son complementos o sustitutos? . La respuesta es

Estas entradas $x$ y $z$ no están relacionados porque : $\pi_{w_z,w_x} = - \frac{\partial z}{\partial w_x} = 0$

¿Podría alguien explicarme qué está pasando aquí? Creo que el $\pi_{w_z,w_x}$ nos dice cómo el beneficio marginal de un cambio en el coste del insumo de $z$ cambia cuando el coste del insumo $x$ cambios. Pero no estoy seguro de entender la derivada parcial del lado derecho. Se parece un poco a la regla de la cadena para la diferenciación implícita.

Answer 1

1. En mis clases, se llaman demandas marshallianas o no compensadas, como en la teoría del consumidor.

2. La derivada parcial del lado derecho significa diferenciar directamente la demanda de $z$ (el óptimo $z$ nivel) con respecto a $w_x$ (el precio del otro factor, $x$ ).

En la teoría del consumo de bienes $x,y$ con precios $p_x,p_y$ Los bienes complementarios y sustitutivos se definen como

• Complementos

$\frac{\partial x}{\partial p_y} < 0$

En este caso, un aumento del precio del bien $y$ hace una menor cantidad de $y$ por ser más caro, y por lo tanto una menor cantidad de $x$ se exige como $x$ y $y$ suelen consumirse juntos.

• Sustitutos

$\frac{\partial x}{\partial p_y} > 0$

En este caso, un aumento del precio del bien $y$ hace una menor cantidad de $y$ más caro, y se necesita una mayor cantidad de $x$ ya que el consumidor sustituye el bien $y$ por el bien alternativo relativamente más barato $x$ .

• Bienes no relacionados

$\frac{\partial x}{\partial p_y} = 0$

Un cambio en el precio de un bien $y$ y, por tanto, su cantidad demandada, no tiene ningún efecto sobre la demanda del bien $x$ .

Aquí se trabaja con la noción análoga de complementos/sustitutos/bienes no relacionados (aquí factores de producción) en la teoría de la empresa.