¿Calculé correctamente el criterio de Kelly?

Question

$$\frac{dX_t}{X_t}=\alpha\frac{dS_t}{S_t}+(1-\alpha)\frac{dS^0_t}{S^0_t}$$

donde $\alpha$ es la proporción de la inversión en el activo riesgoso $S_t$ y $S^0_t$ es el activo libre de riesgo. $S_t$ sigue un movimiento Browniano geométrico,

$$\begin{aligned} \frac{dS_t}{S_t} &= \mu{dt} + \sigma{dW_t} \\ \frac{dS^0_t}{S^0_t} &= r dt \end{aligned}$$

Sustituyendo la ecuación, obtenemos

$$\frac{dX_t}{X_t}=(\alpha\mu+(1-\alpha)r)dt+\alpha\sigma{dW_t}$$

Resolver la siguiente EDP produce

$$X_t = X_0 \exp\left(\left(\alpha\mu + (1-\alpha) r -\frac{(\alpha\mu)^2}{2}\right)t+\sigma{W_t}\right)$$

Así que debemos maximizar $\alpha\mu+(1-\alpha)r-\frac{(\alpha\mu)^2}{2}$. Diferenciando la expresión anterior $\mu-r-\alpha\sigma^2$, entonces $\alpha=\frac{\mu-r}{\sigma^2}$. Creo que podría haber un error en mi derivación. Miré esta parte y sentí que algo estaba mal.

$$X_t = X_0 \exp\left(\left(\alpha\mu+(1-\alpha)r-\frac{(\alpha\mu)^2}{2}\right)t+\sigma{W_t}\right)$$

¿Derivé correctamente la fórmula de Kelly?

Answer 1

Puede ser un error tipográfico pero dejaste caer el $\alpha$ en el término de ruido después de resolver la SDE: en $\exp(...)$ deberías tener $\alpha \sigma W_t$ en lugar de $\sigma W_t$. Para derivar el criterio de Kelly, no importará ya que tomaremos la media y esto desaparecerá (ver más abajo). Pero en simulaciones es importante hacerlo bien, ya que tu fracción de inversión $\alpha$ afectará la volatilidad $\sigma$ que estás obteniendo del activo $S$.

Sea $g(\alpha) = r+(\mu-r)\alpha-\frac12 \sigma^2 \alpha^2$. Esta es solo tu expresión, con alguna reorganización. Tu solución $X_t$ ahora se puede escribir (con la nota anterior en mente) como $$X_t = X_0 \exp(g(\alpha)t+\sigma \alpha W_t).$$ El criterio de Kelly dice maximizar el logaritmo de la utilidad esperada: $$f(\alpha,t,x) = \mathbb{E}(\log X_t|X_0=x),$$ Tomar logaritmos da $$\log X_t = \log X_0 +g(\alpha) t +\sigma \alpha W_t$$ Tomar la esperanza condicional en $X_0=x$, da $$f(\alpha,t,x)=\log x +g(\alpha) t+0,$$ Diferenciar esto con respecto a $\alpha$ da $$\frac{\partial f}{\partial \alpha} = g'(\alpha)t$$ lo cual es igual a cero si y solo si $g'(\alpha)=0$ (asumimos $t>0$). Calcular $g'(\alpha)$ desde la definición y establecerlo igual a cero significa que tenemos que resolver $$g'(\alpha) = \mu-r-\frac12 \sigma^2 \alpha=0,$$ lo cual da la solución $\alpha^* = (\mu-r)/\sigma^2$ como se deseaba. Tu derivación es esencialmente la misma pero omite parte de la argumentación que justificaría los pasos (1. tomar logaritmos nos permite enfocarnos en el argumento de $\exp$, 2. tomar medias hace que el término de ruido desaparezca, por lo que solo tenemos que maximizar la parte de deriva).