Maximización de la utilidad para un hogar formado por una mujer y un hombre, con discriminación de género

Question

Consideremos un hogar formado por una mujer y un hombre, con preferencias sobre el ocio y el consumo dadas por:

$U(\overrightarrow{c},\overrightarrow{l}) = \ln{c} + \ln{l^F} + \ln{l^M}$

donde $\overrightarrow{l} = (l^F,l^M)$ es el vector de tiempos de ocio para la mujer y el hombre, respectivamente.

Por otra parte, el consumo $c$ se define por las preferencias del hogar sobre los vectores de consumo $\overrightarrow{c} = (c^N,c^V)$ dado como

$c = \frac{2}{3} c^N + \frac{1}{3} c^V$

donde $c^N$ son bienes de mercado (que yo consideraría comestibles) y $c^V$ es el consumo generado por el trabajo doméstico (que yo consideraría pura satisfacción de tener la casa limpia)

El consumo de mano de obra nacional viene dado por (un tipo de función de producción)

$c^V = (V^F)^{\frac{1}{2}} (V^M)^{\frac{1}{2}}$

donde $V = (V^F,V^M)$ son los tiempos de trabajo doméstico para la mujer y el hombre, respectivamente.

El consumo de bienes de mercado viene dado por la restricción presupuestaria

$c^N = w^F N^F + w^M N^M + \Pi$

donde $N = (N^F,N^M)$ son los tiempos de trabajo remunerado para la mujer y el hombre, respectivamente; $\Pi$ son los beneficios de la empresa, y $(w^F,w^M)$ son los salarios de la mujer y el hombre, respectivamente.

En este caso, ambos individuos tienen una dotación temporal de $1$ unidad:

$l^i + V^i + N^i = 1$

Encuentre la oferta de trabajo remunerado femenino y masculino y los tiempos de trabajo doméstico y compárelos.

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Esto es lo que he hecho:

Enchufar $c^N, c^V$ en las preferencias de $c$ ,

$c = \frac{1}{3} [2w^F N^F + 2w^M N^M + 2 \Pi + (V^F)^{\frac{1}{2}} (V^M)^{\frac{1}{2}}]$

$\ln{c} = - \ln{3} + \ln{[2w^F N^F + 2w^M N^M + 2 \Pi + (V^F)^{\frac{1}{2}} (V^M)^{\frac{1}{2}}]}$

A partir de la restricción temporal puedo eliminar las variables de ocio reescribiendo $l^i = 1 - N^i - V^i$

Enchufando mis nuevas expresiones para $c$ y el $l^i$ en la función de utilidad:

$U(N^F,N^M,V^F,V^M) = - \ln{3} + \ln{[2w^F N^F + 2w^M N^M + 2 \Pi + (V^F)^{\frac{1}{2}} (V^M)^{\frac{1}{2}}]} + \ln{(1-N^F-V^F)} + \ln{(1-N^M-V^M)}$

De aquí obtendría las condiciones de primer orden diferenciando con respecto a cada una de las cuatro variables y estableciendo $= 0$ .

$\frac{\partial U}{\partial N^F} = \frac{2 w^F}{2w^F N^F + 2w^M N^M + 2 \Pi + (V^F)^{\frac{1}{2}} (V^M)^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{1-N^F-V^F} = 0$

$\frac{\partial U}{\partial N^M} = \frac{2 w^M}{2w^F N^F + 2w^M N^M + 2 \Pi + (V^F)^{\frac{1}{2}} (V^M)^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{1-N^M-V^M} = 0$

$\frac{\partial U}{\partial V^F} = \frac{\frac{1}{2} (V^F)^{-\frac{1}{2}} (V^M)^{\frac{1}{2}}}{2w^F N^F + 2w^M N^M + 2 \Pi + (V^F)^{\frac{1}{2}} (V^M)^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{1-N^F-V^F} = 0$

$\frac{\partial U}{\partial V^M} = \frac{\frac{1}{2} (V^F)^{\frac{1}{2}} (V^M)^{-\frac{1}{2}}}{2w^F N^F + 2w^M N^M + 2 \Pi + (V^F)^{\frac{1}{2}} (V^M)^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{1-N^M-V^M} = 0$

Sin embargo, resolver este sistema de $4$ Las ecuaciones parecen bastante complicadas.

He intentado emparejar cada dos ecuaciones con el mismo término negativo y obtener una ecuación de cada par, para reducirlo a un sistema de dos ecuaciones.

Sin embargo, cuando intento resolver el nuevo sistema, obtengo $w^F w^M = \frac{1}{16}$ lo que no parece muy útil ni tiene sentido.

¿Es erróneo este método de sustituir las ecuaciones de consumo al principio, y debería más bien intentar formar un Lagrangiano (muy largo)? ¿Hay alguna forma más inteligente de resolver este problema?

Creo que podría utilizar las tasas marginales de sustitución, pero esto me parece muy confuso, ya que en esta situación, ahora hay $3$ posibles formas en que los agentes domésticos podrían emplear su tiempo, en lugar de $2$ ; aparte de que el hogar está formado por $2$ agentes en lugar de uno.

Answer 1

En principio, utilizar multiplicadores de Lagrange en lugar de la sustitución debería ser lo mismo. Multiplicadores de Lagrange son importantes cuando el las funciones de restricción no pueden explicitarse de lo contrario no son necesarios. Por lo tanto, creo que este no es el problema.

El problema es cómo obtener algo útil y significativo a partir de las condiciones de primer orden.

En primer lugar, observo que no hay ninguna diferencia entre trabajo femenino y masculino en el problema, los dos introducir el problema de forma simétrica . Las únicas diferencias en el resultado de la maximización pueden provenir de salarios diferentes, $w^F$ et $w^M$ .

Esto sugiere que podría ser significativo encontrar la oferta de mano de obra en función de los salarios En realidad, nada inusual (estoy redescubriendo la función de oferta de mano de obra...).

$\;$

Propongo la siguiente vía.

Obsérvese que el primer término de las ecuaciones de las derivadas tiene el mismo denominador, que yo llamo $A$ para simplificar los cálculos. Es decir, puse:

${2w^F N^F + 2w^M N^M + 2 \Pi + (V^F)^{\frac{1}{2}} (V^M)^{\frac{1}{2}}}=A$ .

Por lo tanto, las condiciones de primer orden pueden reescribirse como

$\frac{\partial U}{\partial N^F} = \frac{2 w^F}{A} - \frac{1}{1-N^F-V^F} = 0\qquad \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$

$\frac{\partial U}{\partial N^M} = \frac{2 w^M}{A} - \frac{1}{1-N^M-V^M} = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\qquad (2)$

$\frac{\partial U}{\partial V^F} = \frac{\frac{1}{2} (V^F)^{-\frac{1}{2}} (V^M)^{\frac{1}{2}}}{A} - \frac{1}{1-N^F-V^F} = 0\;\qquad (3)$

$\frac{\partial U}{\partial V^M} = \frac{\frac{1}{2} (V^F)^{\frac{1}{2}} (V^M)^{-\frac{1}{2}}}{A} - \frac{1}{1-N^M-V^M} = 0\qquad (4)$

En $(1)$ et $(2)$ que tenemos:

$2 w^F = \frac{A}{1-N^F-V^F} $

$2 w^M = \frac{A}{1-N^M-V^M} $

y tomando el cociente

$\frac{w^F}{w^M}=\frac{1-N^M-V^M}{1-N^F-V^F}. $

Recordando que

$l^i + V^i + N^i = 1$

tenemos

$\frac{w^F}{w^M}=\frac{l^M}{l^F} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\qquad (5) $

Expresión $(5)$ nos dice que el de ocio de la mujer y el hombre trabajadores depende (inversamente) de los salarios (sus proporciones deben ser iguales), en particular si los salarios $w^F$ et $w^M$ son iguales, la cantidad de ocio de los dos trabajadores será igual.

$\;$

Cómo es la cantidad total de trabajo ¿se distribuyen entre el trabajo remunerado y el doméstico?

Consideremos las condiciones de primer orden $(3)$ et $(4)$ . Tomando el cociente podemos escribir

$ \frac{\frac{1}{2} (V^F)^{-\frac{1}{2}}(V^M)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2} (V^F)^{\frac{1}{2}}(V^M)^{-\frac{1}{2}}}=\frac{1-N^M-V^M}{1-N^F-V^F}$

es decir

$\frac{(V^M)^{1/4}}{(V^F)^{1/4}}=\frac{1-N^M-V^M}{1-N^F-V^F}$

que puede escribirse como

$\frac{V^M}{V^F}=\left(\frac{l^M}{l^F}\right)^4. \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\qquad (6)$

Ecuación $(6)$ nos dice que la proporción de trabajo doméstico de trabajadores y trabajadoras depende (positivamente) de la proporción de ocio, que a su vez depende (negativamente) de la proporción de salarios.

Es decir, un miembro del hogar tendrán una mayor cantidad de mano de obra no remunerada, doméstica, cuanto menor sea su salario.

$$***$$

En conclusión, podemos decir que los suministros, domésticos y remunerados, de mano de obra de ambos miembros del hogar, y el ocio, están vinculados a los salarios correspondientes.

Si los salarios femeninos y masculinos son iguales, todos los suministros de trabajo y ocio serán iguales.

Nada sorprendente, ya que confirma nuestra primera impresión intuitiva, puesto que el modelo es simétrico con respecto al trabajo de ambos miembros del hogar, y las únicas diferencias posibles residen en los salarios.

Por supuesto, podrían hacerse otras elaboraciones, pero así creo que ya tenemos resultados significativos.

Answer 2

La respuesta de BakerStreet me resultó útil para sacar conclusiones intuitivas sobre el modelo, aunque luego pude resolver explícitamente por mí mismo las asignaciones de tiempo óptimas de los agentes del hogar con un truco:

El consumo total viene dado por:

$c = \frac{1}{3} [2w^F N^F + 2w^M N^M + 2 \Pi + (V^F)^{\frac{1}{2}} (V^M)^{\frac{1}{2}}]$

$\ln{c} = - \ln{3} + \ln{[2w^F N^F + 2w^M N^M + 2 \Pi + (V^F)^{\frac{1}{2}} (V^M)^{\frac{1}{2}}]}$

Sustituyendo esta expresión por $\ln c$ en $U$ obtenemos el siguiente programa:

$\max U(N^F,N^M,V^F,V^M,l^F,l^M) = - \ln{3} + \ln{[2w^F N^F + 2w^M N^M + 2 \Pi + (V^F)^{\frac{1}{2}} (V^M)^{\frac{1}{2}}]} + \ln l^F + \ln l^M$

sujeto a las limitaciones de tiempo de ambos agentes

$l^F + V^F + N^F = 1$

$l^M + V^M + N^M = 1$

Formamos el lagrangiano correspondiente con dos multiplicadores de Lagrange: un lambda hembra $\lambda^F$ y un lambda macho $\lambda^M$ :

$\mathcal{L} = - \ln{3} + \ln{[2w^F N^F + 2w^M N^M + 2 \Pi + (V^F)^{\frac{1}{2}} (V^M)^{\frac{1}{2}}]} + \ln l^F + \ln l^M + \lambda^F (1-l^F-V^F-N^F) + \lambda^M (1-l^M-V^M-N^M)$

Obtenemos las siguientes condiciones de primer orden:

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial N^F} = \frac{2w^F}{A} - \lambda^F = 0 \implies \lambda^F = \frac{2w^F}{A}$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial l^F} = \frac{1}{l^F} - \lambda^F = 0 \implies \lambda^F = \frac{1}{l^F}$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial V^F} = \frac{\frac{1}{2} (V^F)^{-\frac{1}{2}} (V^M)^{\frac{1}{2}}}{A} - \lambda^F = 0 \implies \lambda^F = \frac{\frac{1}{2} (V^F)^{-\frac{1}{2}} (V^M)^{\frac{1}{2}}}{A}$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial N^M} = \frac{2w^M}{A} - \lambda^M = 0 \implies \lambda^M = \frac{2w^M}{A}$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial l^M} = \frac{1}{l^M} - \lambda^M = 0 \implies \lambda^M = \frac{1}{l^M}$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial V^M} = \frac{\frac{1}{2} (V^F)^{\frac{1}{2}} (V^M)^{-\frac{1}{2}}}{A} - \lambda^M = 0 \implies \lambda^M = \frac{\frac{1}{2} (V^F)^{\frac{1}{2}} (V^M)^{-\frac{1}{2}}}{A}$

donde $A:= 2w^F N^F + 2w^M N^M + 2 \Pi + (V^F)^{\frac{1}{2}} (V^M)^{\frac{1}{2}}$ como lo definió BakerStreet.

Ahora calculamos los ratios $\frac{\lambda^F}{\lambda^M}$ emparejando cada condición femenina de primer orden con su dual masculina:

$\frac{\lambda^F}{\lambda^M} = \frac{w^F}{w^M}$

$\frac{\lambda^F}{\lambda^M} = \frac{l^M}{l^F} \implies l^M = \frac{w^F}{w^M} l^F$

$\frac{\lambda^F}{\lambda^M} = \frac{V^M}{V^F} \implies V^M = \frac{w^F}{w^M} V^F$

Estas condiciones intergenéricas también implican que

$N^M = 1 - \frac{w^F}{w^M} l^F - \frac{w^F}{w^M} V^F$

Introduciendo estas ecuaciones y la restricción de tiempo de la hembra en nuestra función objetivo, la reducimos a $2$ variables:

$U(N^F,V^F) = \ln[2w^FN^F+2w^M-2w^F(1-N^F-V^F)-2w^FV^F+2\Pi+(\frac{w^F}{w^M})^{\frac{1}{2}}V^F] + 2 \ln(1-N^F-V^F) + [\ln(\frac{w^F}{w^M}) - \ln 3]$

Aviso $A = 2w^FN^F+2w^M-2w^F(1-N^F-V^F)-2w^FV^F+2\Pi+(\frac{w^F}{w^M})^{\frac{1}{2}}V^F$ .

Nuestras nuevas condiciones de primer orden son:

$\frac{\partial U}{\partial N^F} = \frac{4w^F}{A} - \frac{2}{1-N^F-V^F}$

$\frac{\partial U}{\partial V^F} = \frac{(\frac{w^F}{w^M})^{\frac{1}{2}}}{A} - \frac{2}{1-N^F-V^F}$

Haciendo un poco de álgebra, transformamos nuestras condiciones de primer orden en el siguiente sistema de $2$ ecuaciones lineales en $2$ variables $(N^F,V^F)$

$(\frac{w^F}{w^M})^\frac{1}{2} V^F = 4 w^F - 2 w^M - 2 \Pi - 6 w^F N^F$

$(\frac{w^F}{w^M})^\frac{1}{2} V^F = (\frac{w^F}{w^M})^\frac{1}{2} + 4 w^F - 4 w^M - 4 \Pi + [(\frac{w^F}{w^M})^\frac{1}{2} - 8 w^F] N^F$

Puesto que los lados izquierdos son iguales, igualando ambos lados derechos resolvemos para $N^F$ y consigue:

$N^F = \frac{2w^M+2\Pi-(\frac{w^F}{w^M})^\frac{1}{2}}{(\frac{w^F}{w^M})^\frac{1}{2} - 2 w^F}$

Introduciendo cualquiera de las dos ecuaciones, obtenemos explícitamente $V^F$ .

Enchufar $N^F,V^F$ en la restricción temporal femenina, obtenemos $l^F$ .

Enchufar $N^F,V^F$ en las condiciones intergenéricas, obtenemos $N^M,V^M$ .

Enchufar $N^M,V^M$ en la restricción temporal masculina, obtenemos $l^M$ .

La única diferencia en las asignaciones óptimas de tiempo de trabajo doméstico depende de la relación entre los salarios de los agentes en el mercado de trabajo asalariado, según la intuición de BakerStreet.