Sea $$ \begin{align*} dY_{t} &= \left(r - \frac{1}{2} V_{t}\right) dt + \sqrt{V_{t}}dW_{t}\\ dV_{t} &= \kappa(\theta - V_{t}) dt + \rho \sigma \sqrt{V_{t}}dW_{t} + \sigma\sqrt{1-\rho^{2}}\sqrt{V_{t}}dB_{t} \end{align*} $$ donde $W$ y $B$ son dos movimientos brownianos correlacionados por $\rho$ . Debido a la afinidad del modelo de Heston transformado logarítmicamente, Duffie, Pan y Singleton (2000) muestran una forma de hallar la función característica del modelo de Heston. La función característica es entonces $$ f(u) = \mathrm{e}^{a(t) + b_{1}(t)X_{0} + b_{2}(t)V_{0}}. $$ También especifican las EDOs de Riccati que en este caso serán $$ \begin{align*} \frac{db_{1}(t)}{dt} &= 0,\\ \frac{db_{2}(t)}{dt} &= \frac{1}{2}b_{1}(t) + \frac{1}{2}\kappa b_{2}(t) - \frac{1}{2}b_{1}(t)^{2} - \rho\sigma b_{1}(t)b_{2}(t) - \frac{1}{2}\sigma^{2}b_{2}(t)^{2},\\ \frac{da(t)}{dt} &= r - rb_{1}(t) - \sigma\theta b_{2}(t).\\ \end{align*} $$ con condiciones iniciales $a(0) = 0$ , $b_{1}(0) = u$ y $b_{2}(0) = u$ . Por lo tanto, la solución para $b_{1}$ sería $b_{1}(t) = u$ y luego insertarlo en la ecuación de Riccati para $b_{2}$ obtenemos $$ \frac{db_{2}(t)}{dt} = \frac{1}{2}(u - u^{2}) + \left(\frac{1}{2}\kappa - \rho\sigma u\right)b_{2}(t) - \frac{1}{2}\sigma^{2}b_{2}(t)^{2}. $$ Mi problema es ¿cómo puedo resolverlo? Agradecería si alguien me ayudara a derivar la solución para $b_{2}(t)$ y tal vez decirme si también lo hice de la manera correcta hasta aquí. También me gustaría señalar que soy nuevo en las ecuaciones de Riccati por lo que cualquier ayuda sería apreciada.
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Respuesta parcial
En [1] en las páginas 290-291 se encuentra una discusión del modelo Cox-Ingersoll-Ross en el que la ecuación de Riccati $$ \textstyle n_t(t,T)-\frac{1}{2}\sigma^2\, n^2(t,T)-b\,n(t,T)+1=0\,,\quad n(T,T)=0 $$ se dice que tiene la solución $$ n(t,T)=\frac{\sinh(\gamma t)}{\gamma\cosh(\gamma t)+\frac{1}{2}b\sinh(\gamma t)}\,,\quad\gamma=\sqrt{b^2+2\sigma^2}\,,\quad \tau=T-t\,. $$
[1] M. Musiela, M. Rutkowski, Métodos Martingale en la modelización financiera .
Para la demostración, basta con seguir lo siguiente procedimiento con $$\begin{align} q_0(t) &= \frac{1}{2}u(1-u)\\ q_1(t) &= \frac{1}{2}\kappa-\rho\sigma u\\ q_2(t) &= -\frac{1}{2}\sigma^2\\ \end{align}$$
Para esta ecuación específica, todos los $q_i(t)$ son funciones constantes, entonces incluso se puede utilizar este responder para resolver el problema.
Observamos que para la ecuación de Riccacti, necesitamos conocer primero una solución particular. Se puede utilizar $f(t) = \text{const} :=f$ como solución, entonces $f$ satisface $$ 0 = \frac{1}{2}(u - u^{2}) + \left(\frac{1}{2}\kappa - \rho\sigma u\right)f - \frac{1}{2}\sigma^{2}f^2 \tag{1} $$
et $(1)$ no es más que una ecuación cuadrática y puede resolverse fácilmente.
