Definiciones contradictorias de la monotonía débil (preferencias)

Question

Montonicidad fuerte mis fuentes parecen coincidir en la monotonicidad fuerte, a continuación expongo definiciones equivalentes. Pero en el caso de la monotonicidad débil sigo encontrando lo que parecen ser definiciones contradictorias. En lo que sigue me refiero a Wikipedia, Hal R. Varian, "Microeconomic Analysis", 3ª edición, y mi propio curso de Economía Matemática.

_Wikepedia_ : Se dice que las preferencias de un agente son fuertemente monótono si, dado un paquete de consumo $x$ el agente prefiere todos los paquetes de consumo $y$ que tienen más de al menos un bien, y no menos en cualquier otro bien.

• Wikipedia: $y \ge x$ y $y x$ $\implies y\succ x$
• Varian: $y \ge x$ y $y x$ $\implies y > x$
• Paquete del curso : Llama a esto "Nonsatiation": Vectores $x > y$ implica $x_i \ge y_i , \forall \; i$ y $x_i > y_i$ para algunos $i$ entonces $x\succ y$

Entiendo que todos dicen lo mismo.

Montonicidad débil:

• _Wikipedia : "En economía, se dice que las preferencias de un agente son débilmente monótono_ si, dado un paquete de consumo $x$ el agente prefiere todos los paquetes de consumo $y$ que tienen más de todos los bienes. Es decir, $y x$ implica $y\succ x$ "

• Paquete del curso : El paquete de mi curso no menciona la monotonía, pero también tiene esta definición y se refiere a ella como " Preferencias estrictas " y que satisface nulidad: Y creo que significa $x_i > y_i, \forall \;i$

• Varian p.96: Montonicidad débil : $x \ge y$ entonces $x\succeq y$

Esto es confuso porque la definición de Varian parece ser completamente opuesta a la definición de Wikipedia, y a la definición de preferencias estrictas de mis paquetes de cursos.

1. ¿Podría alguien confirmar las definiciones más estándar de montonoicidad débil y fuerte, y de preferencias débiles y estrictas? Gracias.

Answer 1

No existe una terminología universal para las condiciones de monotonicidad. Por ejemplo, el libro de texto más utilizado para estas cosas, Teoría microeconómica de Mas-Colell, Whinston y Green, utiliza una terminología algo diferente. Si tomamos $\geq$ la ordenación por coordenadas, $>$ la parte asimétrica ( $x>y$ si $x\geq y$ pero no $y\geq x$ ), y $\gg$ por ser estrictamente mayor en cada coordenada, denominan preferencia monótono si $x\gg y$ implica $x\succ y$ (lo que Wikipedia parece llamar débilmente monótono), llámelos fuertemente monótono si $x> y$ implica $x\gg y$ . Probablemente haya más acuerdo sobre lo que significa monotonicidad fuerte (a veces estricta). Creo que la versión de Varian de monotonicidad débil tiene más sentido que la de Wikipedia.

Nonsatiation se utiliza casi universalmente para algo diferente, a saber, que para cada $x$ hay algo de $y$ tal que $y\succ x$ . A menudo se refuerza para no discriminación local : Para cada $x$ y cada barrio $V$ de $x$ existe alguna $y\in V$ satisfaciendo $y\succ x$ .

El término preferencia estricta suele utilizarse para la parte asimétrica $\succ$ de una relación de preferencia débil (reflexiva) $\succeq$ o sólo para una relación irreflexiva o asimétrica, según la generalidad deseada.

Veamos la relación entre las diferentes nociones de monotonicidad, aquí denominadas neutralmente (todas las relaciones de preferencia $\succeq$ se suponen completos y transitivos, $\succ$ es su parte asimétrica, y el dominio es $\mathbb{R}^l_+$ ):

M1: $x\geq x$ implica $x\succeq y$ .

M2: $x\gg y$ implica $x\succ y$ .

M3: $x> y$ implica $x\succ y$ .

Entonces M3 implica tanto a M1 como a M2. No es necesario que se cumpla ninguna otra implicación en general. Si $\succeq$ es continua, entonces M2 implica M1. Si $\succeq$ es localmente nonsatiated, entonces M1 implica M2. M2 (y, por tanto, también M3) implican no casación local.