Definiciones de la función homotética

Question

He encontrado varias definiciones de funciones homotéticas. He utilizado cada una de ellas para demostrar que una función $f(x, y) = x^a y^b$ con $a+b > 0$ es homotética. Pero tengo algunas preguntas.

• Pregunta 1): En comparación con la definición uno, ¿por qué las condiciones más estrictas de las definiciones dos y tres, si la definición uno es tan sencilla?
• Pregunta 2): ¿Por qué las definiciones dos y tres equivalentes a pesar de las sutiles diferencias?
• Pregunta 3): Una pregunta de examen utilizada $f$ como función de producción, es decir $x = k$ Capital, $y = l$ Trabajo. La respuesta entonces utilizada definición 3 para demostrar que era homotético. Aunque no es complicada, parece la más complicada de las alternativas, ¿alguien puede dar una idea de por qué este enfoque podría haber sido utilizado? ¿hay algo especial acerca de la función como una función de producción? ¿Es la definición 3 una definición más estricta?

Definición 1 Fuente: Mi paquete del curso de Economía Matemática

• Cualquier función homogénea de grado $d>0$ es homotético .

$f(x,y) = x^a y^b$ que es homogénea en grado $a+b > 0$ y, por tanto, es homotética.

Definición 2 Fuente :

• Una función $f$ es homotético si:
• $f(x,y) = q(r(x,y))$

1. $r$ es un función homogénea de cualquier grado
2. $q$ es monotónicamente creciente (Que creo que significa no decreciente)

$f(x,y) = h(r(x,y))= (x^{a/2}y^{b/2})^2$ Donde he supuesto $x,y >0$ y así $h^2$ es monotónicamente creciente $r$ es homogénea en grado

Definición 3 Fuente: Mi paquete del curso de Economía Matemática

• Una función $f: \mathbb{R^{n+}} \to \mathbb{R}$ es homotheic si tiene la forma
• $f(x,y) = q(r(x,y))$

1. Dónde $r$ es una función homogénea de grado 1
2. $q$ es estrictamente creciente

$f(x,y) = h(r(x,y))= (x^qy^p)^{a+b}$ Dónde $q = \frac{a}{a+b}$ $p+\frac{b}{a+b}$ Por lo tanto, hemos escrito $f$ en términos de una transformación monótona de una homogénea de grado $d = 1$ función $r$ .

Pregunta 3): Esta era la técnica utilizada en un esquema de respuestas de un examen, en el que $x = k$ Capital, $y = l$ Trabajo, por lo tanto podemos suponer $x\ge0$ y $y\ge0$ No entiendo por qué utilizan todo esto cuando seguramente bastaría con la simple primera definición. Teniendo en cuenta que el $f$ es homogénea de grado d > 0. ¿O al menos la definición 4 que es super sencilla? ¿Hay alguna razón por la que uno de estos otros enfoques hubiera sido inválido ?

Definición 4 Fuente :

Una función $f: \mathbb{R}^n_+ \to \mathbb{R}$ es homotético si su tasa marginal de sustitución (TMS) entre dos variables cualesquiera es constante a lo largo de los rayos desde el origen, es decir, la TMS depende sólo de la relación de las variables. Es decir, la MRS es homogénea de grado 0.

Utilizando $x = k$ Capital, $y = l$ Trabajo

$MRTS(k,l) = \frac{al}{bk}$ que es claramente homogénea de grado 0.

Answer 1

Pregunta 1.

La definición 1 no es exactamente una definición. $u(x) = \ln(x) + 3$ es homotético pero no homogéneo de grado $1$ . Verifícalo utilizando la segunda definición.

Pregunta 2.

La definición 2 requiere monotonicidad estricta. En caso contrario, si $r(x,y) = x^\alpha y^{1-\alpha}$ y $q(x) = 5$ se pierde tanto la función de utilidad como la ordenación.

He aquí una imagen de la definición de Varian:

Si te fijas, ha definido una función monótona como una función positiva y estrictamente creciente.

Pregunta 3.

Porque la tercera es la definición correcta.