I $Y_t = A_t F(K_t,L_t)$ ,
I $\left(g_A = \frac{\dot A}{A}\right)$ .
S
$Y = A F(K,L) = A L f(k) \implies g_Y = g_A + g_L + \frac{f'(k)}{f(k)} \dot k = g_Y = g_A + g_L$ y de forma similar, podemos encontrar $g_Y = g_A$ .
Por otro lado, para un crecimiento equilibrado, $g_A + g_L + \frac{f'(k)}{f(k)} \dot k = g_Y$ . Ahora $g_Y = g_A \iff g_L + \frac{f'(k)}{f(k)} \dot k = 0$ lo cual no es necesariamente cierto.
Se trata de una cuestión bastante complicada.
Comienzo con una definición de senda de crecimiento equilibrado . Informo, por ejemplo, de la definición de Acemoglu, Introducción al crecimiento económico moderno, (Princeton University Press, 2009):
A lo largo del libro, el crecimiento equilibrado se refiere a una asignación en la que la producción crece a un ritmo constante, y relación capital-producto el tipo de interés y las cuotas de los factores permanezca en constante . (Está claro que tres de estas cuatro características implican la cuarta.) (Acemoglu, p. 57.) énfasis mío )
Por lo tanto, un tasa constante de crecimiento de la producción es una característica central y, si la producción de capital ha de ser constante, también el capital debe crecer a la misma tasa constante. $^1$
En el modelo de Solow, existe una diferencia considerable entre el caso en que el progreso tecnológico se introduce a través de la Harrod neutral (o aumento de la mano de obra ) progreso tecnológico o se introduce a través del Hicks neutral progreso tecnológico.
Estas diferencias entre los dos modelos llevan a conclusiones diferentes en relación con nuestro problema sobre la senda de crecimiento equilibrado: se puede demostrar que el modelo de Solow con el progreso tecnológico que aumenta la mano de obra es compatible con una senda de estado estacionario/crecimiento equilibrado en el que las variables per cápita crecen a una tasa constante (igual a la tasa de crecimiento constante de la tecnología), mientras que, si el progreso tecnológico se introduce a través de la forma neutra de Hicks, el modelo no puede presentar un estado estacionario con tasas de crecimiento constantes.
En realidad, un resultado más sólido retenciones: el progreso tecnológico debe adoptar la forma de aumento de mano de obra para que el modelo tenga un estado estacionario con tasas de crecimiento constantes . Es decir, cualquier otro forma de progreso tecnológico no es compatible con un crecimiento equilibrado en estado estacionario.
Además, en el caso del progreso tecnológico neutro de Hicks, no es posible deducir la tasa exacta de crecimiento de las variables : crecen a un ritmo que depende del ritmo de crecimiento de la tecnología, pero el ritmo concreto de crecimiento no puede evaluarse sin conocer la forma específica de la función de producción.
Como hemos dicho antes, El progreso técnico debe tener una representación neutra de Harrod para que el modelo tenga un estado estacionario con una tasa de crecimiento constante.
El propio Solow abordó esta cuestión en su libro Crecimiento económico: una exposición y en Conferencias de Siena sobre crecimiento endógeno $^2$ señalando que la teoría económica está interesada en exponencial estados estacionarios, es decir, en estados estacionarios con tasas de crecimiento constantes. Él escribe:
Así pues, la dedicación de este tipo de teoría al aumento del trabajo progreso tecnológico corresponde exactamente a nuestro interés estados estacionarios exponenciales. Si perdiéramos el interés por los estados estacionarios estados estacionarios exponenciales, entonces no habría necesidad de tener este supuesto sobre la naturaleza del progreso tecnológico. [ ]A menos que $F $ [ el función de producción ] era esta forma particular nunca habría un estado estacionario exponencial . La moraleja de esta parte de la historia es que la mano de obra que aumenta el progreso tecnológico no es un supuesto especial que se necesita para que este tipo de teoría funcione; es un supuesto especial. para que nosotros, los pobres, podamos hablar de progreso tecnológico. estados estacionarios exponenciales. (Solow, Conferencias de Siena , cit. p. 7, énfasis mío ).
En su libro y en sus Conferencias, Solow da una prueba de este hecho.
Barro y Sala-i-Martin $^3$ dar una prueba similar a la de Solow.
Este resultado también se conoce como Teorema de Uzawa :
El teorema [ Uzawa's muestra que el crecimiento constante de la producción , el capital y el consumo combinado con rendimientos constantes a escala implica que la función de producción agregada debe tener una representación con Harrod neutra (puramente aumentadora del trabajo). (Acemoglu, cit. p. 60)
Doy un esbozo de la prueba, siguiendo a Barro y Sala-i-Martin. Para las pruebas detalladas me remito a los libros de Solow, Barro y Sala-i-Martin y Acemoglu.
Esquema de la prueba Supongamos una función de producción que incluye tanto el progreso tecnológico que aumenta el trabajo como el que aumenta el capital:
$$Y=F[K \cdot B(t), L\cdot A(t)] \qquad (1)$$
donde $B(t)=A(t)$ implica que el progreso tecnológico es neutral en el sentido de Hicks. Suponemos que $A(t)$ crece a un ritmo constante $x\geq 0$ y $B(t)$ a un ritmo constante $z\geq0$ en particular $A(t)=e^{xt}$ y $B(t)=e^{zt}$ .
La población , $L$ crece a un ritmo constante $n$ : $L= e^{nt}$ .
Dividir ambos lados $(1)$ por $K$ que tenemos:
$${Y\over K} = e^{zt}\cdot \left (F \left[ 1, \frac {L\cdot A(t)}{K \cdot B(t)} \right ] \right) = e^{zt}\cdot \phi [{L\over K}\cdot e^{(x-z)t}] \qquad (2)$$
donde $\phi (\cdot)\equiv F \left[ 1, \frac {L\cdot A(t)}{K \cdot B(t) }\right ]$ . Si estuviéramos en un estado estacionario de crecimiento equilibrado, la tasa de crecimiento de $K$ será constante, digamos $\gamma _K^*$ . La expresión $(2)$ para $Y/K$ se puede escribir como:
$${Y\over K}= e^{zt}\cdot \phi [e^{(n+x-z-\gamma _K^*)t}]\qquad (3). $$
En estado estacionario, $\frac{\dot K}{K}$ también es igual a la constante $\gamma _K^*$$ ^4$ y, por lo tanto, $Y\over K$ debe ser constante. Es decir, el lado derecho de $(3)$ debe ser constante.
Existen dos formas de obtener el lado derecho de $(3)$ constante:
Caso 1) . $z=0$ y $\gamma _K^*= n+x$ . Es decir, el progreso tecnológico es puramente laboral y la tasa de crecimiento del capital es igual a $n+x$ (con $z=0$ volvemos al análisis habitual del trabajo que aumenta el progreso técnico).
Caso 2) La función de producción es una Cobb Douglas.
Omito la prueba técnica. Basta con observar que el resultado no es sorprendente, ya que, en el caso Cobb Douglas, el progreso técnico siempre puede considerarse como un aumento del trabajo: de hecho, en un Cobb Douglas los tres tipos de progreso tecnológico, el aumento del trabajo, el aumento del capital y Hicks neutral son equivalentes.
$\Box$
Como vimos, con el progreso tecnológico neutral de Hicks, un crecimiento equilibrado con tasas de crecimiento constantes no existe: en particular, la producción no crece a un ritmo constante.
En realidad, ni siquiera podemos calcular con exactitud la tasa de crecimiento de la producción En efecto, la producción crece a un ritmo que está vinculado al ritmo de crecimiento de la tecnología, pero no conocemos el ritmo exacto.
El problema está relacionado con el hecho de que con la tecnología neutral de Hicks, si la tecnología $A(t)$ crece, digamos que a un ritmo constante, el estado estacionario cambia y no existe un "estado de reposo" del modelo en una única trayectoria de estado estacionario con constante $k$ sino un desplazamiento continuo del estado estacionario y, por tanto, un crecimiento sostenido de la relación capital-trabajo $k$ . $^5$
Esto se puede demostrar mediante un gráfico habitual del modelo de Solow, en el que se supone que la función de producción presenta un progreso tecnológico neutro de Hicks (como es habitual, con rendimientos constantes a escala), es decir
$$Y = A(t) F(K(t),L(t)) = A(t) L(t) f(k(t)),\qquad (4)$$
donde las variables tienen el significado habitual.
En la foto, $A_0 < A_1 < A_2 < A_3 $ .
A partir del gráfico, que representa la ecuación fundamental del movimiento, podemos ver que si $A(t)$ crece, el estado estacionario se desplaza continuamente hacia arriba: no hay un valor constante en estado estacionario de $k$ pero un valor diferente de $k$ para cada valor de $A(t)$ .
Podemos ver esto también referido a la ecuación fundamental que, con la tecnología neutral de Hicks, se convierte en:
$$\dot k = s A(t) f(k(t)- (n+d) k(t)\qquad (5)$$
Si fijamos $\dot k=0$ para obtener el valor en estado estacionario de $k$ , $k^*$ obtenemos:
$$s A(t) f(k(t))- (n+d) k(t)=0\qquad (6)$$ .
Debido a la presencia de $A(t)$ en la ecuación, vemos que $k^*$ no es único para todos los $t$ pero depende de $A(t)$ que, a su vez, depende del tiempo: $k^*= k^*(A (t))$ .
Así que, con el tiempo, $k^*(A(t))$ aumenta mientras $A(t)$ aumenta , sin límite, según el valor de $A(t)$ . Es decir $\dot k^* \neq0$
$$\;$$
Podemos entonces calcular la tasa de crecimiento de $Y$ , $g_Y$ (Omito $t$ para simplificar):
$$Y = A F(K,L) = A L f(k^*) \implies g_Y = g_A + g_L + \frac{f'(k^*)}{f(k^*)} \dot k^* \qquad (7)$$
donde $g_A$ y $g_L$ son, respectivamente, la tasa de crecimiento de la tecnología y la tasa de crecimiento de la mano de obra. Como durante el proceso dinámico $k^*$ aumenta, $\dot k^*\neq0$ y no podemos establecer $\dot k^*=0$ en la ecuación $(7)$ para obtener una tasa de crecimiento constante de $Y$ .
Por lo tanto, la dinámica de $Y$ en el tiempo, según $(7)$ depende del término $\frac{f'(k^*)}{f(k^*)}$ y no podría determinarse con exactitud a menos que conozcamos la forma específica de $f(k)$ .
$^1$ Muchos autores definen simplemente un crecimiento equilibrado como una situación en la que las variables relevantes del modelo crecen a un ritmo constante, véase por ejemplo Romer, Macroeconomía avanzada Mac Graw Hill (2012), p. 18, Dornbush, Fisher, Macroeconomía , McGraw Hill,13°ed.(2017) o Barro, Sala-i-Martin, Crecimiento económico MIT Press, (2004) p. 34, nota 1.
$^2$ Solow, Robert M., Crecimiento económico: una exposición (1970),Clarendon Press, y Solow, Robert M., Conferencias de Siena sobre crecimiento endógeno, (1992), Departamento de Política Económica de Siena.
$^3$ Barro, Sala-i-Martin, Crecimiento económico p. 78.
$^4$ La tasa de crecimiento de $K$ viene dado por $\frac {\dot K}{K}=s(Y/K) - d$ .
$^5$ Solow en su artículo fundamental de 1956, A Contribution to the Theory of Economic Growth, The Quarterly Journal of Economics, Vol. 70, No. 1 (Feb., 1956) introduce el progreso tecnológico en la forma neutral de Hicks. Escribe: "Un tipo de cambio tecnológico especialmente fácil es el que simplemente multiplica la función de producción por un factor de escala creciente. Así, modificamos (2) para que diga (13) $Y = A(t)F(K,L)$ . El mapa de isocuantas permanece inalterado, pero el número de salida adjunto a cada isocuanta se multiplica por $A (t)$ . La forma en que el ( ahora siempre cambiante) se ve afectada la relación capital-trabajo de equilibrio. en un diagrama como el de la Figura I [ el gráfico habitual del modelo, mi nota ] "inflando" la función sF(r,1)[. "p. 85. A continuación, Solow analiza el caso Cobb-Douglas.
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