Solución general Ecuación diferencial

Question

Tenemos el siguiente sistema de ecuación diferencial ordinaria. Para resolverlo mediante diagonlsación hacemos lo siguiente. Mi preocupación es que mi solución general es un resultado sutilmente diferente, he comprobado con una calculadora matricial y la mía parece ser correcta? Pero la sutil diferencia realmente va a afectar el análisis creo.

1. $\frac{dX}{dt} = -cY$
2. $\frac{dY}{dt} = -cX$

$\begin{bmatrix} \frac{dX}{dt} \\ \frac{dY}{dt} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -c \\ -c & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix}$ Denotemos la matriz $A =\begin{bmatrix} 0 & -c \\ -c & 0 \end{bmatrix}$

$\det \begin{bmatrix} -\lambda & -c \\ -c & -\lambda \end{bmatrix} = \lambda^2 - c^2 = 0$

Los valores propios son: $\lambda_1 = c, \quad \lambda_2 = -c$

1. $\lambda_1 = c$ : $(A - cI)v_1 = 0$

$\begin{bmatrix} -c & -c \\ -c & -c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{11} \\ v_{12} \end{bmatrix} = 0$

$v_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$

2. $\lambda_2 = -c$ : $(A + cI)v_2 = 0$

$\begin{bmatrix} c & -c \\ -c & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{21} \\ v_{22} \end{bmatrix} = 0$

$v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

Esto me da la solución general:

$X(t) = -\alpha e^{ct} + \beta e^{-ct}$

$Y(t) = \alpha e^{ct} + \beta e^{-ct}$

Pero lo que consiguen es

$X(t) = \alpha e^{ct} + \beta e^{-ct}$

$Y(t) = -\alpha e^{ct} + \beta e^{-ct}$

Esto luego afecta a mi análisis, por ejemplo resulta que $\alpha < 0$ por lo tanto $-\alpha = |\alpha|$ que importa en qué ecuación está.

Nota: Utilizaron la sustitución, y me pregunto si así es como obtuvieron la respuesta diferente. Pero esto pondría de relieve exactamente las preocupaciones que tenía en un entrada anterior En cuanto a los diferentes resultados generales de los dos métodos, sobre todo en un contexto de examen, por ejemplo.

Nota: Técnicamente se trataba de "ecuaciones de Lanchester", pero esto parece irrelevante para el análisis.

Answer 1

Pero $\alpha$ et $\beta$ en las soluciones son constantes arbitrarias ¿Es cierto? Supongo que sí, ya que son soluciones de ecuaciones diferenciales.

Por lo tanto, no hay diferencia entre tu solución y la de ellos (pero ellos ¿quién?), las soluciones simplemente dicen que los primeros términos de $X(t)$ et $Y(t)$ tienen coeficientes opuestos.

$\;$

La cuestión es lo que significa que las letras $\alpha$ et $\beta$ sont constantes arbitrarias .

¿Qué significa? Que varían, digamos en $\mathbb{R}$ , tomando todos los valores posibles en $\mathbb{R}$ .

Por lo tanto, si escribe una carta, diga $C$ , para referirse a un valor arbitrario, cualquier número que puedas anteponerle, multiplicándolo, no cambia el resultado. Es decir, lo que se obtiene es siempre lo mismo, todos los números en $\mathbb{R}$ .

Ejemplo:

• El coeficiente es $C$ . Variando $C$ en $\mathbb{R}$ se obtienen todos $\mathbb{R}$ Obviamente.

• el coeficiente es $2C$ . ¿Qué obtienes variando $C$ en $\mathbb{R}$ ? Todos $\mathbb{R}$ .

• el coeficiente es $- C$ . ¿Qué obtienes variando $C$ en $\mathbb{R}$ ? Todos $\mathbb{R}$ .

Porque, dado cualquier número c, cualquier número en $\mathbb{R}$ , digamos $K$ se puede obtener como solución de $cC=K$ Siempre encontrará un $C$ tal que, dado $c$ le da $K$ .

Conclusión: los coeficientes en las soluciones de las ecuaciones diferenciales te dan todos los números reales, independientemente de cómo lo escribas con números concretos.

Si escribes una solución de una ecuación diferencial como

$Y(t) = C e^{at} + B e^{bt}$

o

$Y(t) = 2C e^{at} - 4B e^{bt}$

es exactamente lo mismo. Los coeficientes en ambos casos son todos números reales.

Así que las diferencias son sólo formales, son sólo "nombres" para las constantes arbitrarias.

$\;$

Si quieres que la apariencia de las dos soluciones de tu problema en la pregunta sea la misma, con el mismo signo en los coeficientes, simplemente toma tu solución

$X(t) = -\alpha e^{ct} + \beta e^{-ct}$

$Y(t) = \alpha e^{ct} + \beta e^{-ct}$

a continuación, establezca $-\alpha=\gamma$ y se obtiene

$X(t) = \gamma e^{ct} + \beta e^{-ct}$

$Y(t) = -\gamma e^{ct} + \beta e^{-ct}$ ,

que también es formalmente igual a la otra solución.

$\;$

Esto afecta a mi análisis, por ejemplo, resulta que que $\alpha < 0$ por lo tanto $-\alpha = |\alpha|$ lo que importa lo que ecuación está.

Esto no está claro, ¿cómo puede verse afectado su análisis? Como $\alpha$ es una constante arbitraria, que toma todos los valores en $\mathbb{R}$ lo que podría significar que "resulta que $\alpha < 0$ '? No tiene sentido.

Las constantes arbitrarias pueden tomar un valor específico si se añade un otro problema , an problema de valor inicial (o Problema de Cauchy ), pero este es otro asunto.

Answer 2

Pongo aquí algunas aclaraciones adicionales al post original porque no quiero confundir. Adjunto aquí es una la hoja de preguntas original. El contexto es que es de un examen de la Universidad de 2020 en Economía Matemática, módulo de 3er año.

1. Hoja de preguntas original.
2. Respuesta a la parte c) donde creo que tener una solución general diferente causa problemas.

Específicamente notamos que si usamos mi respuesta de la diagonalización:

• $X(t) = -\alpha e^{ct} + \beta e^{-ct}$
• $Y(t) = \alpha e^{ct} + \beta e^{-ct}$

En lugar de la respuesta oficial

• $X(t) = \alpha e^{ct} + \beta e^{-ct}$
• $Y(t) = -\alpha e^{ct} + \beta e^{-ct}$

Entonces utilizando lo dado en la parte c) obtendríamos: $\alpha + \beta > -\alpha + \beta \implies \alpha > -\alpha \implies \alpha > 0$

Solución

Al escribir esto y releer la respuesta de Baker Streets creo que entiendo lo que debería haber hecho ahora para evitar confusiones.

- Debería haber resuelto mi Matriz en términos de diferentes constantes arbitrarias, digamos $c$ et $d$ y luego simplemente convertirlos, es decir, decir $-c = \alpha$ et $d = \beta$ . - La razón por la que habría sabido que tenía que hacer esto, es que pusieron una condición específica en $\alpha$ et $\beta$ internos de $X(0)$ et $Y(0)$ lo que indicaría que la respuesta debe ser una solución general específica, es decir $\alpha < 0$ para que se desarrolle el resto del análisis.