Tomemos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales.
- $x'(t) = x + 2y$
- $y'(t) = 3x + 2y$
He utilizado dos métodos diferentes (sustitución y diagonalización) para resolver el sistema. El funcionamiento es correcto y se incluye para contextualizar. Quiero hacer las siguientes preguntas acerca de los dos enfoques diferentes.
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¿Los coeficientes ABCD en el ecuaciones generales decirme algo significativo sobre el sistema? Lo pregunto porque dos métodos diferentes dan dos ecuaciones generales aparentemente diferentes, que sólo convergen una vez que se proporciona una solución general. ¿Existe alguna relación entre ellas? ¿Es uno más "correcto" que el otro?
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En realidad, esta pregunta no venía acompañada de ninguna solución concreta. Las soluciones que utilizo, $x(0) = 2$ , $y(0) = 1$ que inventé. Luego probé lo que daban los primeros métodos y luego comprobé que el segundo daba la misma solución particular. Lo hizo, pero ¿funcionaría esto siempre para elegir condiciones iniciales aleatorias?
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El segundo método no proporciona directamente los vectores propios, que son útiles para dibujar los retratos de fase? ¿Tendría que tomar las raíces de la ecuación característica y utilizarlas para encontrar los vectores propios de forma normal? O están implícitos en algún otro lugar del segundo método.
- Gracias. Trabajo a continuación para contextualizar.
Método 1: Diagonalización
$_1 = 4$ & $_2 = -1$
Vectores propios $V_1 = (2,3)^T$ & $V_2 = (-1, 1)^T$
$P = \begin{pmatrix} 2& -1 \\3& \;1 \end{pmatrix}$
- Sistema general 1:
- $x(t) = 2Ae^{4t} - Be^{-t}$
- $y(t) = 3Ae^{4t} + Be^{-t}$
Trabajar con las soluciones particulares. $x(0) = 2$ , $y(0) = 1$
Resolver el sistema: $\begin{pmatrix} 2& -1 \\3& \;1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A \\B\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\1\end{pmatrix}$ Lo tendrás: $A = \frac{3}{5}$ , $B = -\frac{4}{5}$
Que luego enchufando de nuevo en el sistema te da
- $x(t) = \frac{6}{5}e^{4t} + \frac{4}{5}e^{-t}$
- $y(t) = \frac{9}{5}e^{4t} - \frac{4}{5}e^{-t}$
Método 2: Sustitución
$x'(t) = x + 2y$ $y'(t) = 3x + 2y$
Mediante sustitución obtenemos la EDO lineal homogénea de segundo orden en $x(t)$
$x''(t) - 3x'(t) - 4x(t) = 0$
La ecuación característica $( - 4)( + 1)$ da lo esperado: $_1 = 4 \;, _2 = -1$
- Sistema general 2
- $x(t) = Ce^{4t} + De^{-t}$
Entonces usando: $y(t) = \frac{1}{2}[x'(t) - x(t)] = \frac{1}{2}[x'(t) - x(t)] = \frac{1}{2}[4Ce^{4t} - De^{-t} - (Ce^{4t} + De^{-t})]$
- $y(t) = \frac{3}{2}Ce^{4t} - De^{-t}$
Así que a resolver el sistema: $\begin{pmatrix} 1& \;1 \\\frac{3}{2}& -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C \\D\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\1\end{pmatrix}$ $C = \frac{6}{5}$ , $D = \frac{4}{5}$
Que al volver a conectar al sistema da el resultado deseado:
- $x(t) = \frac{6}{5}e^{4t} + \frac{4}{5}e^{-t}$
- $y(t) = \frac{18}{10}e^{4t} - \frac{4}{5}e^{-t} = \frac{9}{5}e^{4t} - \frac{4}{5}e^{-t}$
