Ecuación de Bellman y teorema de la envolvente

Question

No estoy seguro de dónde entra en juego el teorema de la envolvente cuando diferencio la ecuación de Bellman con respecto a $k_t$ .

A mí me parece la regla de la cadena normal y, de hecho, exactamente lo contrario del teorema de la envolvente?

Dada la ecuación general de Bellman:

$V(k_t, t) = max\{u(c_t) + V(k_{t+1}, t + 1)\}$ $s.t. k_{t+1} = f(k_t)- c_t$

Cuando introducimos la restricción en la función objetivo obtenemos:

$V(k_t, t) = max\{u(c_t) + V(f(k_t)- c_t, t + 1)\}$

Entonces me dicen que " diferenciar con respecto a $k_t$ utilizando el teorema de la envolvente ", dando:

$V'(k_t, t) = V'(f(k_t), t + 1)f'(k_t)$

1. Para mí esto es lo que conseguiría si me dijeran que diferenciara con respecto a $k_t$ sin ninguna mención al teorema de la envolvente, es decir, sólo utilizando la regla de la cadena.
2. Mi interpretación del teorema de la envolvente es que cuando diferenciamos una función de valor con respecto a una restricción podemos ignorar el efecto indirecto de dichos parámetros sobre la función objetivo. Sin duda, dado que $k_t$ aparece "indirectamente" a través de $f$ es decir $f(k_t)$ entonces el teorema de la Envolvente implicaría que podríamos ignorarlo?

Obviamente me estoy perdiendo algo. Así que agradezco mucho las ideas útiles de siempre.

Answer 1

Lo que hay que tener en cuenta aquí es que en el óptimo, $c_t$ dependerá de $k_t$ . Así, la función de valor es

\begin{align} V(k_t, t) &= \max\{u(c_t) + \beta V(f(k_t) - c_t, t + 1)\}\\ &= u(c_t(k_t)) + \beta V(f(k_t) - c_t(k_t), t + 1)\}, \end{align}

donde $c_t(k_t)$ es la elección óptima. Se puede diferenciar y aplicar la condición de primer orden con respecto a $c_t$ o utilizar el teorema de la envolvente. Ahora, el teorema de la envolvente dice que para cualquier (suficientemente bueno) $f(y) = \max_x g(x, y)$ ,

$$ \frac{\mathrm{d}f(y)}{\mathrm{d}y} = \frac{\partial g(x, y)}{\partial y} \bigg\rvert_{x = x(y)}, $$ donde $x(y)$ maximiza $g$ para cualquier $y$ .

Espero que esto te dé lo que necesitas para completar el resto. Te recomiendo que pruebes ambos enfoques.

Answer 2

Muchas gracias por sus comentarios. Ahora veo que el error clave que estaba cometiendo era olvidar que cuando resolvemos nuestro sistema, por ejemplo mediante inducción hacia atrás, nuestra elección óptima de $C_t$ es siempre como resultado del estado, es decir, nuestra constante $k_t$ . He resuelto el problema desde cero a continuación que da el mismo resultado que el teorema de la envolvente.

Comprender el teorema de la envolvente: En términos profanos sería correcto decir que al diferenciar la función Valor con respecto a un parámetro, el Teorema de la Envolvente nos permite ignorar el efecto indirecto de nuestros parámetros a través del valor óptimo de las variables de elección. Porque normalmente obtendremos algún tipo de términos donde van a 0 usando la FOC como yo he hecho.

Y que por lo tanto, $f(k_t)$ porque el efecto de $k_t$ se acaba de transformar por $f$ no está ocurriendo indirectamente a través de nuestra variable de Elección Óptima.

$V(k_t, t) = u(c_t(k_t)) + \beta V(f(k_t) - c_t(k_t), t + 1)$

Nota: $k_{t+1} = f(k_t) - c_t(k_t)$

Suponiendo que hemos resuelto para el valor óptimo de nuestra variable de elección y denotamos esto $c_t(k_t)$

$\frac{\partial V(k_t, t)}{\partial k_t} = u'(c_t(k_t)) c_t'(k_t) + \beta V'(f(k_t) - c_t(k_t), t+1)(f'(k_t)-(c_t'(k_t))$

Dónde $V'(f(k_t) - c_t(k_t), t+1)$ es la derivada de $V$ con respecto a $k_t$

$= u'(c_t(k_t)) c_t'(k_t) + \beta V'(k_{t+1}, t+1)(f'(k_t)-(c_t'(k_t))$

\= $[u'(c_t(k_t)) - \beta V'(k_{t+1}, t+1)]c_t'(k_t) + \beta V'(k_{t+1}, t+1)(f'(k_t)$

Cuando como resultado de $c_t(k_t)$ siendo nuestro valor óptimo $[u'(c_t(k_t)) - \beta V'(k_{t+1}, t+1)] = 0$ y por lo tanto

$\frac{\partial V(k_t, t)}{\partial k_t} = \beta V'(k_{t+1}, t+1)(f'(k_t))$

Edición 15/04/2023

Seguía pensando que el cálculo que hice no era suficientemente demostrativo, así que añadí los detalles. Pero es un lío escribirlo. Por favor, ¡dime si es correcto!