¿Cómo calcular el equilibrio a largo plazo de las empresas en una competencia de Cournot?

Question

Intento resolver la siguiente pregunta:

En un escenario en el que existen múltiples empresas idénticas con una gran oferta de productos disponibles, cada empresa debe decidir cuánto ofrecer al mercado. Cada empresa tiene la misma función de costes, dada por C(q) = 10q y la demanda del mercado viene dada por Q = 150 - P.

La entrada en el mercado conlleva un coste fijo F en el que debe incurrir cada empresa en la fase de entrada. Supongamos que tras la entrada en el mercado hay un periodo de competencia Cournot.

Determine el número de empresas de equilibrio a largo plazo n^0. '

¿Cómo se puede determinar esto sin conocer el coste fijo inicial exacto? ¿Son también 0 los beneficios a largo plazo en la competencia de Cournot (como en la competencia perfecta)? Muchas gracias.

Answer 1

Como dice la respuesta de Giskard a la pregunta vinculada, dado que las empresas tienen costes simétricos, a largo plazo todas ganan $0$ beneficio.

La función de demanda inversa es

$Q = 150 - P \implies P(Q) = 150 - Q$

La función de beneficio es

$\Pi_i = P(Q) q_i - TC_i(q_i)$

Sustituyendo todas las funciones dadas,

$\Pi_i = 150 q_i - Q q_i - 10 q_i - F$

Ahora encontramos la producción óptima para cada empresa:

Por la regla del producto en $Q q_i$ y señalando $\frac{\partial Q}{\partial q_i} = 1$ ,

$\frac{\partial \Pi_i}{\partial q_i} = 140 - Q - q_i = 0$

Dado que las empresas tienen costes simétricos, tienen las mismas producciones óptimas, lo que implica que $ Q = n q_i$

$140 - (n+1) q_i = 0$

Aislar $q_i$

$q_i = \frac{140}{n+1}$

$Q = \frac{140 n}{n+1}$

De la función de demanda inversa obtenemos

$P = \frac{10 (n+15)}{n+1}$

Sustituyendo estos datos por $0$ condición de beneficio,

$10 \cdot \frac{n+15}{n+1} \cdot \frac{140}{n+1} - 10 \cdot 35 - F = 0$

Haciendo un poco de álgebra obtenemos

$\frac{F + 350}{1400} (n+1)^2 = n + 15$

$\frac{F + 350}{1400} (n+1)^2 = (n+1) + 14$

$\frac{F + 350}{1400} (n+1)^2 - (n+1) - 14 = 0$

$(F + 350)(n+1)^2 - 1400 (n+1) - 19600 = 0$

Se trata de una ecuación cuadrática en $n+1$ con coeficientes

$a = F + 350, b = -1400, c = -19600$

Utilizando la fórmula cuadrática obtenemos

$n + 1 = \frac{140(5 \pm \sqrt{F + 375})}{F+350}$

$n = \frac{140(5 \pm \sqrt{F + 375})}{F+350} - 1$

Desde $\sqrt{F + 375} \geq \sqrt{375} > \sqrt{25} = 5$ la solución con el signo menos es negativa por lo que la descartamos.

Por lo tanto, el número de empresas es

$n = \frac{140(5 + \sqrt{F + 375})}{F+350} - 1$

Obtuvimos el número de empresas en función del coste fijo $F$ . Para obtener una cifra real, necesitaría conocer el valor del coste fijo.

EDIT: Tal vez haya que utilizar el hecho de que a largo plazo, los costes fijos son $0$ por lo que seguiría el mismo procedimiento y sólo deshacerse de $F$ .

En ese caso, el número de empresas sería:

$n = \frac{140(5+\sqrt{375})}{350} - 1 \approx 8.75$

Como no puede haber empresas fraccionarias, aquí diría que el número de empresas sería $8$ ya que es el valor entero más alto en el que las empresas no obtienen beneficios económicos negativos.