La restricción presupuestaria intertemporal expresa el equilibrio entre el consumo y la renta del hogar a lo largo del tiempo, teniendo en cuenta la posibilidad de endeudamiento y ahorro. Puede expresarse como
$$\sum_{t=0}^{\infty} \frac{C_{i,t}}{(1+r)^t} = \sum_{t=0}^{\infty} \frac{Y_{i,t}}{(1+r)^t} + \frac{A_i}{(1+r)^0}$$
donde:
- $A_i$ es el nivel inicial de activos del hogar i, que puede ser positivo (si el hogar tiene ahorros) o negativo (si el hogar tiene deudas).
- $Y_{i,t}$ es la renta del inquilino i en el momento t
- $r$ es el tipo de interés
Para resolver el problema de optimización de la maximización de la utilidad vital sujeta a la restricción presupuestaria intertemporal, podemos utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange. El Lagrangiano puede escribirse como:
$$\mathcal{L} = \sum_{t=0}^{\infty} e^{ -\rho t}\frac{1}{1-\theta} \left(\frac{C_{i,t}}{C_{t-1}^{\phi}} \right)^{1-\theta} + \lambda \left(\sum_{t=0}^{\infty} \frac{C_{i,t}}{(1+r)^t} - \sum_{t=0}^{\infty} \frac{Y_{i,t}}{(1+r)^t} - \frac{A_i}{(1+r)^0} \right)$$
Tomando las condiciones de primer orden con respecto a $C_{i,t}$ y $A_i$ obtenemos:
$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial C_{i,t}} = e^{ -\rho t}\frac{1}{1-\theta} \left(\frac{C_{i,t}}{C_{t-1}^{\phi}} \right)^{-\theta} (1-\theta) \frac{1}{C_{t-1}^{\phi}} + \frac{\lambda}{(1+r)^t} = 0$$
$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_i} = -\frac{\lambda}{(1+r)^0} = 0$$
Resolución de $\lambda$ y sustituyendo en la condición de primer orden para el consumo, obtenemos la ecuación de Euler:
$$\frac{e^{ -\rho t}}{C_{i,t}} = \frac{1+r}{1-\theta} \left(\frac{C_{i,t+1}}{C_{i,t}^{\phi}} \right)^{1-\theta}$$
Esta ecuación relaciona la utilidad marginal del consumo en el momento t con la utilidad marginal esperada del consumo en el momento t+1, descontada por el tipo de interés. Implica que el hogar ajustará su consumo a lo largo del tiempo para igualar la utilidad marginal del consumo a lo largo de los periodos, teniendo en cuenta el coste de oportunidad de consumir hoy (en términos de ingresos por intereses no percibidos) y el efecto del consumo en el nivel de consumo de referencia. $C_{t-1}$ .
Para resolver la ruta de consumo óptima, podemos utilizar el método de programación dinámica. El problema del hogar puede escribirse como:
$$V(A_{i,t}) = \max_{C_{i,t}} \left(e^{ -\rho t}\frac{1}{1-\theta} \left(\frac{C_{i,t}}{C_{t-1}^{\phi}} \right)^{1-\theta} + \beta V(A_{i,t+1}) \right)$$
sujeto a la restricción presupuestaria intertemporal. Aquí, $V(A_{i,t})$ representa la función de valor, que es la máxima utilidad vital que el hogar i puede alcanzar dado su nivel inicial de activos $A_{i,t}$ . El parámetro $\beta = \frac{1}{1+r}$ es el factor de descuento, que determina el peso relativo de la utilidad futura en comparación con la utilidad presente.
Para resolver la ruta de consumo óptima, podemos utilizar el método de inducción hacia atrás. A partir del último período T, podemos resolver la elección del consumo óptimo $C_{i,T}$ que maximice la función objetivo sujeta a la restricción presupuestaria intertemporal. A continuación, podemos utilizar esta elección de consumo óptimo para resolver la función de valor $V(A_{i,T-1})$ en el penúltimo período T-1, sustituyendo $C_{i,T}$ en la función objetivo y maximizando con respecto a $C_{i,T-1}$ . Este proceso se repite para cada periodo t=1,2,...,T-1, hasta llegar al periodo inicial t=0 y obtener la senda óptima de consumo $C_{i,0}$ que maximiza la utilidad vitalicia del hogar i sujeto a la restricción presupuestaria intertemporal.
La senda óptima de consumo satisface la ecuación de Euler, lo que implica que la relación entre las utilidades marginales del consumo en períodos adyacentes es igual al factor de descuento intertemporal:
$$\frac{MU_{i,t}}{MU_{i,t+1}} = \frac{1}{1+r}$$
donde MU_{i,t} es la utilidad marginal del consumo en el momento t. Esta ecuación implica que el hogar ajustará su consumo a lo largo del tiempo para igualar la utilidad marginal del consumo a lo largo de los periodos, teniendo en cuenta el coste de oportunidad de consumir hoy (en términos de ingresos por intereses no percibidos) y el efecto del consumo en el nivel de referencia del consumo $C_{t-1}$ .
