Suponiendo que el habitual configuración de:
- $\left(\Omega, \mathcal{S}, \mathbb{P}\right)$ nuestro espacio de probabilidad dotado de una filtración $\mathbb{F}=\left(\mathcal{F}_t\right)_{t\in[0,T]}$ ,
- $T>0$ que denota el vencimiento de la opción,
- un $\mathbb{F}$ -proceso adaptado $Z=\left(Z_t\right)_{t\in[0,T]}$ modelando el valor descontado del pago de la opción en el momento $t$ ;
¿Por qué definimos el problema de fijar el precio de una opción americana como: $$ {\text{ess}\sup}_{\tau\in\mathrm{T}_{[0, T]}} \mathbb{E}\left[Z_{\tau}|\mathcal{F}_0\right] $$ y no como: $$ {\text{ess}\sup}_{s\in[0, T]} \mathbb{E}\left[Z_{s}|\mathcal{F}_0\right]? $$ En el $\mathrm{T}_A$ es el conjunto de todos los tiempos de parada (con respecto a nuestra filtración $\mathbb{F}$ ) con valores en el conjunto $A$ .
Sentido común no matemático sugiere que al tenedor de la opción sólo le interesa básicamente un momento $s$ cuándo ejercer la opción de forma óptima ¿Por qué le interesa optimizar todos los tiempos de parada?
Mis otras dudas se derivan del hecho de que cada $s\in[0,T]$ es obviamente también un tiempo de parada, por lo tanto tenemos una inclusión de la segunda formulación en la primera y parece razonable afirmarlo:
$$ {\text{ess}\sup}_{s\in[0, T]} \mathbb{E}\left[Z_{s}|\mathcal{F}_0\right] \leq {\text{ess}\sup}_{\tau\in\mathrm{T}_{[0, T]}} \mathbb{E}\left[Z_{\tau}|\mathcal{F}_0\right]. $$
Por otro lado, soy consciente de que encontrar el tiempo de parada óptimo proporciona el momento óptimo de ejercicio, ya que nuestros tiempos de parada toman valores en $[0,T]$ .
Por lo tanto, tengo la incómoda sensación de que la primera formulación podría proporcionar un valor óptimo mayor (porque estamos optimizando sobre una familia más amplia de argumentos) que la segunda, mientras que me imagino que ambas formulaciones deberían llegar al mismo resultado.
¿Qué tipo de falacias estoy cometiendo al seguir la línea de pensamiento presentada?