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Formulación del precio de la opción americana

Suponiendo que el habitual configuración de:

  • $\left(\Omega, \mathcal{S}, \mathbb{P}\right)$ nuestro espacio de probabilidad dotado de una filtración $\mathbb{F}=\left(\mathcal{F}_t\right)_{t\in[0,T]}$ ,
  • $T>0$ que denota el vencimiento de la opción,
  • un $\mathbb{F}$ -proceso adaptado $Z=\left(Z_t\right)_{t\in[0,T]}$ modelando el valor descontado del pago de la opción en el momento $t$ ;

¿Por qué definimos el problema de fijar el precio de una opción americana como: $$ {\text{ess}\sup}_{\tau\in\mathrm{T}_{[0, T]}} \mathbb{E}\left[Z_{\tau}|\mathcal{F}_0\right] $$ y no como: $$ {\text{ess}\sup}_{s\in[0, T]} \mathbb{E}\left[Z_{s}|\mathcal{F}_0\right]? $$ En el $\mathrm{T}_A$ es el conjunto de todos los tiempos de parada (con respecto a nuestra filtración $\mathbb{F}$ ) con valores en el conjunto $A$ .

Sentido común no matemático sugiere que al tenedor de la opción sólo le interesa básicamente un momento $s$ cuándo ejercer la opción de forma óptima ¿Por qué le interesa optimizar todos los tiempos de parada?

Mis otras dudas se derivan del hecho de que cada $s\in[0,T]$ es obviamente también un tiempo de parada, por lo tanto tenemos una inclusión de la segunda formulación en la primera y parece razonable afirmarlo:

$$ {\text{ess}\sup}_{s\in[0, T]} \mathbb{E}\left[Z_{s}|\mathcal{F}_0\right] \leq {\text{ess}\sup}_{\tau\in\mathrm{T}_{[0, T]}} \mathbb{E}\left[Z_{\tau}|\mathcal{F}_0\right]. $$

Por otro lado, soy consciente de que encontrar el tiempo de parada óptimo proporciona el momento óptimo de ejercicio, ya que nuestros tiempos de parada toman valores en $[0,T]$ .

Por lo tanto, tengo la incómoda sensación de que la primera formulación podría proporcionar un valor óptimo mayor (porque estamos optimizando sobre una familia más amplia de argumentos) que la segunda, mientras que me imagino que ambas formulaciones deberían llegar al mismo resultado.

¿Qué tipo de falacias estoy cometiendo al seguir la línea de pensamiento presentada?

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Flackou Puntos 814

Al formular ayer explícitamente mi propia pregunta y nombrar mis dudas, creo que he dado con la explicación:

  1. Por un lado, tenemos $$ {\text{ess}\sup}_{s\in[0,T]}\mathbb{E}\left[Z_s|\mathcal{F}_0\right] \leq {\text{ess}\sup}_{\tau\in\mathrm{T}_{[0,T]}}\mathbb{E}\left[Z_\tau|\mathcal{F}_0\right]. $$

  2. Por otro, el tiempo de parada óptimo $\tau^\star$ obtenida al resolver $$ {\text{ess}\sup}_{\tau\in\mathrm{T}_{[0,T]}}\mathbb{E}\left[Z_\tau|\mathcal{F}_0\right] $$ nos proporciona un momento óptimo $t^*$ para el ejercicio de la opción, ya que toma valores en $[0,T]$ .
    Hablando más formalmente, para cualquier tiempo de parada arbitrario $\tau\in\mathrm{T}_{[0, T]}$ definimos el momento del ejercicio como: $$ \sup\{t\in[0, T]:\left\{\tau \leq t\} = \emptyset\right\} $$ es decir, el último momento $t\in[0,T]$ de forma que el acontecimiento $\{\tau\leq t\}$ está vacío y $\mathbb{P}\left(\{\tau\leq t\}\right) = 0$ retenciones.
    Teniendo esto en cuenta, podemos escribir $$ {\text{ess}\sup}_{\tau\in\mathrm{T}_{[0,T]}}\mathbb{E}\left[Z_\tau|\mathcal{F}_0\right] = \mathbb{E}\left[Z_{\tau^\star}|\mathcal{F}_0\right] = \mathbb{E}\left[Z_{t^\star}|\mathcal{F}_0\right]. $$ Queda por demostrar que nuestro momento de ejercicio derivado del tiempo de parada $t^\star$ es efectivamente igual a la de la segunda formulación. Para ello, supongamos que $s^\star$ es el tiempo de ejercicio óptimo derivado de la resolución de la formulación determinista: $$ {\text{ess}\sup}_{s\in[0,T]}\mathbb{E}\left[Z_s|\mathcal{F}_0\right] = \mathbb{E}\left[Z_{s^\star}|\mathcal{F}_0\right]. $$ Por un lado tenemos: $$ \mathbb{E}\left[Z_{s^\star}|\mathcal{F}_0\right] = {\text{ess}\sup}_{s\in[0,T]}\mathbb{E}\left[Z_s|\mathcal{F}_0\right] \leq {\text{ess}\sup}_{\tau\in\mathrm{T}_{[0,T]}}\mathbb{E}\left[Z_\tau|\mathcal{F}_0\right] = \mathbb{E}\left[Z_{t^\star}|\mathcal{F}_0\right]. $$ Por otro, trivialmente (por definición de $\text{ess}\sup$ y $s^\star$ siendo el valor que lo realiza) que tenemos: $$ \mathbb{E}\left[Z_{t^\star}|\mathcal{F}_0\right] \leq \mathbb{E}\left[Z_{s^\star}|\mathcal{F}_0\right]. $$ Estos dos juntos nos da: $$ \mathbb{E}\left[Z_{t^\star}|\mathcal{F}_0\right] = \mathbb{E}\left[Z_{s^\star}|\mathcal{F}_0\right] $$ lo que implica $t^\star=s^\star \text{a.s.}$ .

Por lo tanto, la resolución del problema de parada óptima (para el que la teoría de parada óptima se presta muy bien como herramienta) resuelve también la formulación determinista.

Dejaré esta respuesta por ahora para recoger opiniones y comentarios.

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