¿Cómo deducir la identidad a = rB de la función de producción CES?

Question

Me pregunto cómo el uso de esta función de producción en particular

$$ Y = F(K,L) = \left(\alpha K^{\frac{\sigma -1}{\sigma}} + (1 - \alpha)L^{\frac{\sigma -1}{\sigma}}\right)^{\frac{\sigma}{\sigma -1}}$$

donde ${\sigma}$ es la elasticidad de sustitución entre trabajo y capital, podemos derivar la identidad contable $\alpha = r \beta$ (donde $\beta$ es la relación riqueza-ingresos = $K/Y$ ). Sé cómo se puede hacer utilizando una función de producción ordinaria Cobb-Douglas, pero dudo que tomando derivadas parciales para $K$ funcionaría aquí. ¿Se supone que debo tomar derivadas parciales para ambas partes? derivadas para el trabajo y el capital y luego averiguarlo? Intenté hacer eso para obtener $$w/r = (1-\alpha L^{\frac{-1}{s}})/(\alpha K^{\frac{-1}{s}})$$ pero no sé a dónde se supone que debo ir desde allí.

Answer 1

Para obtener la identidad contable $\alpha = r \beta$ utilizando la función de producción

$$ \begin{equation} Y = F(K,L) = \left(\alpha K^{\frac{\sigma -1}{\sigma}} + (1 - \alpha)L^{\frac{\sigma -1}{\sigma}}\right)^{\frac{\sigma}{\sigma -1}} \end{equation} $$

Podemos seguir los siguientes pasos:

Reescriba la función de producción como una función de la relación capital-producto, $\beta$ : Desde $\beta = K/Y$ Podemos reordenar la función de producción para obtener $K$ en términos de $Y$ y $\beta$ : $K = \beta Y$ . Sustituyendo esta expresión en la función de producción se obtiene:

$$ \begin{equation} Y = F(\beta Y, L) = \left(\alpha (\beta Y)^{\frac{\sigma -1}{\sigma}} + (1 - \alpha)L^{\frac{\sigma -1}{\sigma}}\right)^{\frac{\sigma}{\sigma -1}}. \end{equation} $$

Tomar la derivada parcial de la función de producción con respecto a $K$ y sosteniendo $L$ constante, obtenemos:

$$ \begin{equation} \frac{\partial Y}{\partial K} = \alpha \left(\frac{Y}{K}\right)^{\frac{1}{\sigma}} = \alpha \beta^{\frac{-1}{\sigma}}. \end{equation} $$

Reescribe la derivada parcial en términos del producto marginal del capital: Dado que la derivada parcial de la producción con respecto al capital representa el producto marginal del capital, podemos escribir:

$$ \begin{equation} MP_K = \frac{\partial Y}{\partial K} = \alpha \beta^{\frac{-1}{\sigma}}. \end{equation}

$$ Assuming perfect competition, the rental rate of capital, $ r $, is equal to the marginal product of capital, $ MP_K$. Por lo tanto, tenemos:

$$ \begin{equation} r = MP_K = \alpha \beta^{\frac{-1}{\sigma}}. \end{equation} $$

Dado que la tasa de alquiler es el rendimiento del capital por unidad de capital, podemos escribir:

$$ \begin{equation} r = \frac{rK}{K} = \frac{r}{\beta Y} K \end{equation} $$

combinando las 2 últimas expresiones de $r$ , obtenemos: $$\frac{r}{\beta Y} K = \alpha \beta^{\frac{-1}{\sigma}}$$

Simplificando esta expresión, obtenemos

$$\alpha = r \beta^{\frac{1}{\sigma}}$$