Diferentes pagos de estrategias puras en estrategias mixtas

Question

Tengo una pregunta con estrategias mixtas. La pregunta es la siguiente, si estamos en un perfil de estrategia que es un equilibrio de Nash y un jugador está jugando una estrategia mixta, ¿pueden las estrategias puras que forman parte de dicha estrategia mixta dar diferentes payoffs?

Mi primera impresión es que no. Si, por ejemplo, consideramos un juego tal que la estrategia mixta asigna $\mu$ a la pura estrategia $A$ y $1-\mu$ a la pura estrategia $B$ y si $A$ da pagos más altos que $B$ entonces otra estrategia mixta que da probabilidad 1 a jugar $A$ y 0 jugando $B$ daría mayores ganancias a dicho jugador, en contra de lo que sería un equilibrio de Nash.

No sé si estoy en lo cierto o tengo un error, agradecería mucho vuestros comentarios o si tenéis una forma mejor de argumentarlo o tenéis un contraejemplo.

Puesta al día: Por ejemplo, en emparejar peniques, estamos en un equilibrio cuando jugamos la estrategia (0,5,0,5) para cada jugador y sin embargo los pagos de los peniques asociados son diferentes. No sé si esto sirve para ejemplificar que es posible.

Answer 1

Por la razón que mencionas, si un jugador elige al azar en equilibrio algunas estrategias puras, entonces estas estrategias deben dar la misma recompensa frente a las elecciones de estrategia de los otros jugadores. El conjunto de las mejores respuestas mixtas consiste en todas las aleatorizaciones sobre las mejores respuestas puras.

La cuestión es que los beneficios esperados son lineales en la propia estrategia del jugador: $$\sum_{(s_1,\ldots,s_n)}\sigma_1(s_1)\cdots\sigma_n(s_n)~u_i(s_1,\ldots,s_n)=\sum_{s_i}\sigma_i(s_i)\sum_{(s_1,\ldots,s_{i-1},s_{i+1},\ldots,s_n)}u_i(s_1,\ldots,s_n).$$ Por tanto, el resultado esperado del jugador será una media ponderada de los resultados de las estrategias puras, y sólo puede ser la mejor respuesta si mezcla las mejores respuestas puras.

La consecuencia ligeramente extraña es que en un equilibrio de Nash, un jugador no aleatoriza porque le proporcione una mayor retribución, sino que aleatoriza para que los demás jugadores se vuelvan indiferentes entre las estrategias puras sobre las que aleatoriza.