¿Cómo encontrar la curva de contrato para una utilidad funky que implica el operador min?

Question

Supongamos una economía de intercambio puro en la que los ( $A$ y $B$ ) vienen dadas por las siguientes funciones de utilidad:

$u_A = \min(3x+y,x+3y)$

$u_B = x^\frac{1}{2} y^\frac{1}{2}$

Encuentra la curva del contrato.

Los argumentos del operador min son iguales $\iff x_A = y_A$

Ahora divido la caja Edgeworth en $3$ regiones.

• $x_A < y_A$

Aquí ambas utilidades son diferenciables y una de ellas es Cobb-Douglas, por lo que utilizo $MRS$

En esta región, $u_A = 3x + y$ ya que es el argumento más pequeño del $\min$ en esta región.

$MRS_A = MRS_B \iff 3 = \frac{y_B}{x_B}$

Por lo tanto, el segmento de la curva de contrato en esta región es

$y_B = 3 x_B$

• $x_A > y_A$

Igual que antes, en esta región, $u_A = x + 3y$ y

$MRS_A = MRS_B \iff \frac{1}{3} = \frac{y_B}{x_B}$

Por lo tanto, el segmento de la curva de contrato en esta región es

$y_B = \frac{1}{3} x_B$

• $x_A = y_A$

Esta es la línea donde $u_A$ no es diferenciable y es el conjunto de los pliegues de $A$ curvas de indiferencia.

Sea $(\alpha,\beta)$ sean las dotaciones totales de $(x,y)$ respectivamente.

Desde $x_A = y_A$ ,

$MRS_B = \frac{y_B}{x_B} = \frac{\beta - y_A}{\alpha - x_A} = \frac{\beta - x_A}{\alpha - x_A} \in (\frac{1}{3},3) $

$\iff \frac{1}{3} \alpha - \frac{1}{3} x_A < \beta - x_A < 3 \alpha - 3 x_A $

$\iff \frac{1}{3} \alpha + \frac{2}{3} x_A < \beta < 3 \alpha - 2 x_A$

Gráficamente podemos ver que si la pendiente de la tangente del CI Cobb-Douglas está en el conjunto $(\frac{1}{3},3)$ entonces esta tangente está por debajo de $A$ y, por tanto $B$ se cruzaría con $A$ 's IC en exactamente un punto, a saber, la torcedura.

Podemos ver en el siguiente gráfico que $MRS_B \in (\frac{1}{3},3)$ implica que si nos desviamos de la curva a lo largo de $A$ acabaríamos en un CI Cobb-Douglas peor.

Esto implicaría que la curva es un punto eficiente de Pareto.

Si $MRS_B$ fuera uno de los extremos del intervalo, la tangente de la IC Cobb-Douglas sería una de las siguientes $A$ segmentos de línea IC, y $B$ seguiría intersectando $A$ exactamente en el punto de inflexión, lo que implica que el punto de inflexión sigue siendo un punto eficiente de Pareto.

Por otra parte, si $MRS_B < \frac{1}{3}$ ou $MRS_B > 3$ entonces la tangente de la CI Cobb-Douglas se sitúa por encima de $A$ en alguna región, lo que implica que ambos CI se cruzan ahora en un segundo punto.

Tomando cualquier combinación convexa no trivial de esos dos puntos se obtendría un punto en la misma curva IC para $A$ que se encuentra en un CI Cobb-Douglas estrictamente mejor, como se ve en el gráfico siguiente.

Esto implicaría que el pliegue no es un punto eficiente de Pareto.

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También encontré que las condiciones para ambas regiones eran $x_A \neq y_A$ en términos de dotaciones totales $(\alpha,\beta)$ .

Nota $MRS_B = 1 \in (\frac{1}{3},3)$ a lo largo de $x_A = y_A$ para dotaciones simétricas $(\alpha = \beta)$ .

• Para $x_A < y_A$

Reescribir la curva del contrato en términos de agente $A$ ,

$y_A = 3 x_A + \beta - 3 \alpha$

Tengo $x_A < y_A \iff x_A > \frac{3}{2} \alpha - \frac{1}{2} \beta$ .

Obsérvese que esta desigualdad es imposible para dotaciones simétricas $(\alpha = \beta)$ como se convertiría $x_A > \alpha$ es decir, agente $A$ consumir más $x$ que la dotación total.

• $x_A > y_A$

Reescribir la curva del contrato en términos de agente $A$ ,

$y_A = \frac{1}{3} x_A + \beta - \frac{1}{3} \alpha$

Tengo $x_A > y_A \iff x_A > \frac{3}{2} \beta - \frac{1}{2} \alpha$ .

Nótese que esta desigualdad es imposible para dotaciones simétricas $(\alpha = \beta)$ como se convertiría $x_A > \alpha$ es decir, agente $A$ consumir más $x$ que la dotación total.

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Por las notas anteriores, obtuve que para dotaciones simétricas, la curva de contrato es simplemente $x_A = y_A$ que sería el segmento de línea que une ambos orígenes de la caja de Edgeworth.

Sin embargo, estoy teniendo problemas para visualizar todas las condiciones que implican las dotaciones al mismo tiempo (para dotaciones no simétricas), para obtener una respuesta final para la curva de contrato que realmente pueda graficar. Agradecería cualquier ayuda al respecto.

Answer 1

Dada una economía de intercambio puro:

• $u_1(x_1,y_1) = \min(3x_1+y_1,x_1+3y_1)$ , $u_2(x_2,y_2)= x_2^{0.5}y_2^{0.5}$
• Las dotaciones totales de X e Y son $\omega^X > 0$ y $\omega^Y > 0$ respectivamente.

El conjunto de asignaciones viables es $\mathcal{F} = \{((x_1,y_1),(x_2,y_2))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+|x_1+x_2 = \omega^X, y_1+y_2 = \omega^Y\}$

El conjunto de asignaciones eficientes de Pareto viene dado por

$\begin{cases} \{((x_1,y_1),(x_2,y_2))\in\mathcal{F}|y_1=\min(x_1, \omega^Y - \frac{1}{3}(\omega^X-x_1))\} & \text{if } \omega^Y < \omega^X \leq 3\omega^Y \\ \{((x_1,y_1),(x_2,y_2))\in\mathcal{F}|y_1=x_1\} & \text{if } \omega^Y = \omega^X \\ \{((x_1,y_1),(x_2,y_2))\in\mathcal{F}|y_1=\max(0, \omega^Y - \frac{1}{3}(\omega^X-x_1))\} & \text{if } \omega^X > 3\omega^Y \\ \{((x_1,y_1),(x_2,y_2))\in\mathcal{F}|(y_2= 3x_2) \ \vee (x_1=0 \ \wedge \ y_2 > 3\omega^X) \} & \text{if } \omega^X < \frac{1}{3}\omega^Y \\ \{((x_1,y_1),(x_2,y_2))\in\mathcal{F}|y_1=\max(x_1, \omega^Y - 3(\omega^X-x_1))\} & \text{if } \frac{1}{3}\omega^Y \leq \omega^X < \omega^Y \end{cases} $

He aquí algunos ejemplos prácticos de cada uno de los cinco casos: