Elección de cartera y aversión al riesgo

Question

Dada la función de utilidad $U(w) = -e^{-w}$ de un inversor (donde $w$ denota riqueza) y dos activos -riesgoso y seguro-, ¿será indiferente la cantidad de inversión del inversor en el activo de riesgo con respecto a su riqueza?

El gráfico de $U(w)$ es estrictamente cóncavo, por lo que creo que el inversor invertirá más dinero en el activo de riesgo a medida que aumente su riqueza y obtenga más utilidad de él. Por otra parte, cuando hago la prueba utilizando el Medida Arrow-Pratt de aversión al riesgo Me parece que $r(w) = -\frac{u''(w)}{u'(w)} = 1$ lo que indica que el inversor será indiferente.

Esto es contradictorio, ¿dónde me equivoco?

Answer 1

La aversión al riesgo viene dada por el signo de $r(w)$ según estos casos:

• $r(w) > 0 \implies$ la función de utilidad del individuo es cóncava y tiene aversión al riesgo.
• $r(w) < 0 \implies$ la función de utilidad del individuo es convexa y son amantes del riesgo.
• $r(w) = 0 \implies$ la función de utilidad del individuo es lineal y es neutral al riesgo.

Tenemos

$U(w) = - e^{-w}$

$U’(w) = e^{-w}$

$U’’(w) = - e^{-w}$

Por lo tanto,

$r(w) = - \frac{u’’(w)}{u’(w)} = - \frac{ - e^{-w}}{e^{-w}} = 1$ por lo que su $r$ es correcto.

Desde $r(w) = 1 > 0$ el individuo tiene de hecho una función de utilidad cóncava, ya que tiene aversión al riesgo, por lo que no hay contradicción.