Estoy tratando de derivar las condiciones de primer orden para este problema económico, donde una masa unitaria de agentes ex ante idénticos agentes tienen preferencia dada por $$E_{0}\sum_{t=0}^{\infty} \beta^{t} \left\{ \sigma[u(q_{t}^{c}) - q_{t}] + \theta U(C_{t}) + \bar{N} - N_{t} \right\}.$$ La ecuación anterior es la que intento maximizar. Este es el problema del planificador social.
Aquí $\sigma$ es la probabilidad de convertirse en consumidor o productor. Es sólo un parámetro, no una variable de elección. Supongamos que $u"<0<u'$ y $u(0)=0$ y $u'(0)=\infty$ .
Sea la producción $Q_{t}=F(K_{t},N_{t})$ y que $f(k) \equiv F(K/N,1)$ donde $k\equiv K/N$ . La restricción de recursos viene dada por $$C_{t} = F(K_{t},N_{t})+(1-\delta)K_{t} - K_{t+1},$$ para todos $t \geq 0$ con $K_{0}>0$ y donde $0 \leq \delta \leq 1$ . Por tanto, el problema de maximización está sujeto a esta restricción de recursos.
Lo que me cuesta entender es cómo se derivan estas condiciones de primer orden. Así que los autores tienen una secuencia $\left\{ K_{t+1}, N_{t}, C_{t}, q_{t} \right\}_{t=0}^{\infty}$ que maximice el problema anterior sujeto a la restricción de recursos con $K_{0}>0$ dado.
Los autores calculan la mejor asignación en estado estacionario que constituye un conjunto de números $\left( K^{*},k^{*},C^{*},q^{*} \right)$ que satisfaga lo siguiente:
$$u'(q^{*}) = 1 ( \text{I understand this part},)$$
$$\beta \left( f'(k^{*}) + 1-\delta) \right) = 1,$$
$$\theta U'(C^{*}) \left( f(k^{*}) - f'(k^{*})k^{*} \right) = 1,$$
$$\left( f(k^{*})k^{*} - \delta \right) K^{*} = C^{*},$$
donde $N^{*} = K^{*}/k^{*}$ .
Cualquier idea sobre cómo se derivaron estas condiciones de primer orden sería muy apreciada.
