Resolver las condiciones de primer orden de este problema de planificación social

Question

Estoy tratando de derivar las condiciones de primer orden para este problema económico, donde una masa unitaria de agentes ex ante idénticos agentes tienen preferencia dada por $$E_{0}\sum_{t=0}^{\infty} \beta^{t} \left\{ \sigma[u(q_{t}^{c}) - q_{t}] + \theta U(C_{t}) + \bar{N} - N_{t} \right\}.$$ La ecuación anterior es la que intento maximizar. Este es el problema del planificador social.

Aquí $\sigma$ es la probabilidad de convertirse en consumidor o productor. Es sólo un parámetro, no una variable de elección. Supongamos que $u"<0<u'$ y $u(0)=0$ y $u'(0)=\infty$ .

Sea la producción $Q_{t}=F(K_{t},N_{t})$ y que $f(k) \equiv F(K/N,1)$ donde $k\equiv K/N$ . La restricción de recursos viene dada por $$C_{t} = F(K_{t},N_{t})+(1-\delta)K_{t} - K_{t+1},$$ para todos $t \geq 0$ con $K_{0}>0$ y donde $0 \leq \delta \leq 1$ . Por tanto, el problema de maximización está sujeto a esta restricción de recursos.

Lo que me cuesta entender es cómo se derivan estas condiciones de primer orden. Así que los autores tienen una secuencia $\left\{ K_{t+1}, N_{t}, C_{t}, q_{t} \right\}_{t=0}^{\infty}$ que maximice el problema anterior sujeto a la restricción de recursos con $K_{0}>0$ dado.

Los autores calculan la mejor asignación en estado estacionario que constituye un conjunto de números $\left( K^{*},k^{*},C^{*},q^{*} \right)$ que satisfaga lo siguiente:

$$u'(q^{*}) = 1 ( \text{I understand this part},)$$

$$\beta \left( f'(k^{*}) + 1-\delta) \right) = 1,$$

$$\theta U'(C^{*}) \left( f(k^{*}) - f'(k^{*})k^{*} \right) = 1,$$

$$\left( f(k^{*})k^{*} - \delta \right) K^{*} = C^{*},$$

donde $N^{*} = K^{*}/k^{*}$ .

Cualquier idea sobre cómo se derivaron estas condiciones de primer orden sería muy apreciada.

Answer 1

Para dos períodos, la función objetivo es

$$...+\,\beta^{t} \left\{ \sigma[u(q_{t}) - q_{t}] + \theta U(C_{t}) + \bar{N} - N_{t} \right\} \\+ \beta^{t+1} \left\{ \sigma[u(q_{t+1}) - q_{t+1}] + \theta U(C_{t+1}) + \bar{N} - N_{t+1} \right\}+...$$

Diferenciar con respecto a $K_{t+1}$ utilizando la sustitución directa de la restricción de recursos, y aplicar las variables "estrella" del estado estacionario para obtener los factores comunes y quedarnos con

$$\beta \left( \frac{\partial F}{\partial K} + 1-\delta\right) -1 = 0.$$

Diferenciar con respecto a $N_t$ y llegar a

$$\theta U(C^*)\frac{\partial F}{\partial N} - 1 =0.$$

Ahora observa que (verifica)

$$\frac{\partial F}{\partial K} = \frac{\partial N f(k)}{\partial K} = N\frac{f'(k)}{N}$$

y (verificar)

$$\frac{\partial F}{\partial N}=\frac{\partial N f(k)}{\partial N} = f(k) - Nf'(k)\frac{K}{N^2}.$$

Dejo la última totalmente para ti.