Resolver la función de producción a largo plazo de una empresa utilizando la tasa técnica de sustitución

Question

No entiendo la solución a una pregunta que trata de la función de producción a largo plazo de una empresa.

La cuestión es:

Supongamos que una empresa tiene una función de producción $f(x_1, x_1) = x_1^{0.5}x_2^{0.5}$ y los precios de los factores son $w_1 = w_2 = 1$ . Derivar la función de coste total a largo plazo.

La solución es:

A partir de la condición de primer orden, es decir, que la tasa técnica de sustitución es igual a la relación de precios de los factores, tenemos $ -\frac{x_2}{x_1} = -\frac{1}{1} $ es decir $x_1 = x_2$ . Así pues, la demanda condicional de factores es $x_1 = x_2 = q$ . Por tanto, la función de costes a largo plazo es $TC(q) = w_1 x_1 + w_2 x_2 = 2q$ .

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Aunque la segunda frase de la solución tiene sentido, no entiendo lo que significa la primera, en particular el vínculo con una condición de primer orden y la tasa técnica de sustitución.

No pude encontrar una explicación en mi libro de texto.

Answer 1

El problema de optimización que se resuelve es

$\min w_1 x_1 + w_2 x_2$

s.t. $x_1^{0.5} x_2^{0.5} = q $

Supongo que estás acostumbrado a resolver problemas de optimización con el Lagrangiano.

El Lagrangiano es:

$\mathcal{L}(x_1,x_2,\lambda) = w_1 x_1 + w_2 x_2 + \lambda (x_1^{0.5} x_2^{0.5} - q) $

Ahora encontramos las condiciones de primer orden en $x_1, x_2$

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1} = w_1 + \lambda x_1^{-0.5} x_2^{0.5} = 0 \implies \lambda = - \frac{w_1 x_1^{0.5}}{x_2^{0.5}} $

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2} = w_2 + \lambda x_1^{0.5} x_2^{-0.5} = 0 \implies \lambda = - \frac{w_2 x_2^{0.5}}{x_1^{0.5}}$

Igualando ambas lambdas,

$-\frac{w_1 x_1^{0.5}}{x_2^{0.5}} = -\frac{w_2 x_2^{0.5}}{x_1^{0.5}} \implies \frac{x_1}{x_2} = \frac{w_2}{w_1}$

A partir de las condiciones de primer orden sobre las dos variables de control $x_1,x_2$ , tenemos tu ecuación en tu afirmación sobre la tasa técnica de sustitución.

De hecho, la afirmación " $TRS = \frac{w_2}{w_1}$ "puede demostrarse en general, con lo que se obtiene un atajo para utilizar el Lagrangiano:

Resolvamos el problema general de minimización de costes

$\min w_1 x_1 + w_2 x_2$

s.t. $f(x_1,x_2) = q$

Su lagrangiano es

$\mathcal{L}(x_1,x_2,\lambda) = w_1 x_1 + w_2 x_2 + \lambda (f(x_1,x_2) - q)$

Sus condiciones de primer orden son

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1} = w_1 + \lambda \frac{\partial f}{\partial x_1} \implies \lambda = - \frac{w_1}{\frac{\partial f}{\partial x_1}} $

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2} = w_2 + \lambda \frac{\partial f}{\partial x_2} \implies \lambda = - \frac{w_2}{\frac{\partial f}{\partial x_2}} $

Igualando ambas lambdas,

$- \frac{w_1}{\frac{\partial f}{\partial x_1}} = - \frac{w_2}{\frac{\partial f}{\partial x_2}} \implies \frac{w_1}{w_2} = \frac{\frac{\partial f}{\partial x_1}}{\frac{\partial f}{\partial x_2}}$

es decir, la tasa técnica de sustitución $=$ precios relativos.

La tasa de sustitución $=$ La ecuación de los precios relativos también se cumple en el problema primario de maximización de beneficios, así como en la teoría del consumidor, tanto en el problema primario (maximización de la utilidad) como en el dual (minimización del gasto).

Esta ecuación sirve de atajo al método lagrangiano. Una vez que lo aprendí, no he vuelto a utilizar un Lagrangiano en mis cursos de economía.