¿Cómo encontrar el paquete óptimo a partir de dos funciones de demanda?

Question

Si me dan dos funciones de demanda $Q1 = 36-k$ y $Q2 = 36-2k$ y $MC=12$ Para hallar el paquete óptimo, primero resolvería la cantidad hallando la inversa de ambas funciones de demanda y resolviendo para $Q$ a continuación, utilizando $Q$ para encontrar el precio, por ejemplo

$k1=36-Q1$ ,

$36-2Q2=12$ ,

$24=2Q1$ ,

$12=q1$ ,

$p(12)=36-12 = 24$

siendo el paquete óptimo simplemente el precio y la cantidad encontrados. ¿O debería resolverlo de otra manera.

Answer 1

Como su pregunta lleva la etiqueta "discriminación de precios", voy a suponer que las dos funciones de demanda se refieren al mismo bien, en dos mercados diferentes.

Cuando dices "paquete óptimo" creo que quieres decir "equilibrio".

Las formas funcionales de sus funciones de demanda me dicen que por $k$ en el $Q_1$ , $Q_2$ funciones, quiere decir $p_1$ , $p_2$ respectivamente. $p_1$ , $p_2$ no deberían suponerse iguales en una pregunta sobre discriminación de precios.

En una situación de discriminación de precios, ambos mercados son independientes, por lo que el monopolista quiere maximizar los beneficios en cada uno de ellos.

La función de beneficio en el mercado $1$ es

$\Pi_1 = q_1(36-q_1) - 12 q_1$

$\Pi_1 = 36 q_1 - q_{1}^2 - 12 q_1$

$\Pi_1 = 24 q_1 - q_{1}^2$

La condición de optimalidad es fijar su derivada en $0$

$\frac{d\Pi_1}{dq_1} = 24 - 2 q_1 =0 \implies q_{1}^\star = 12$

Sustituyendo en la demanda inversa $1$ ,

$p_{1}^\star = 36 - q_1 = 36 - 12 = 24$

La función de beneficio en el mercado $2$ es

$\Pi_2 = q_2 \cdot \frac{36-q_2}{2} - 12 q_2$

$\Pi_2 = 18 q_2 - \frac{1}{2} q_{2}^2 - 12 q_2$

$\Pi_2 = 6 q_2 - \frac{1}{2} q_{2}^2$

La condición de optimalidad es fijar su derivada en 0

$\frac{d\Pi_2}{dq_2} = 6 - q_2 = 0 \implies q_2^\star = 6$

Sustituyendo en la demanda inversa $2$ ,

$p_{2}^\star = \frac{36-6}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Ahora tenemos las cantidades producidas y los precios de equilibrio. Con esto, podemos calcular el beneficio del monopolista en cada mercado y su beneficio total.

Los beneficios del monopolista en cada mercado son

$\Pi_{1}^\star = p_1^\star q_1^\star - TC(q_1^\star) = 24 \cdot 12 - 12 \cdot 12 = 12 (24-12) = 12 \cdot 12 = 144$

$\Pi_{2}^\star = p_2^\star q_2^\star - TC(q_2^\star) = 15 \cdot 6 - 12 \cdot 6 = 6(15-12) = 6 \cdot 3 = 18$

El beneficio total del monopolista es

$\Pi^\star = \Pi_{1}^\star + \Pi_{2}^\star = 144 + 18 = 162$