Hallar el beneficio a partir de una ecuación de demanda

Question

La ecuación de demanda del producto de una empresa es $3p + x = 400$ où $x(t)$ unidades pueden venderse a un precio de $p$ cada uno. Si la demanda aumenta a un ritmo de 3 unidades al año, cuando la demanda alcanza las 50 unidades, los costes fijos son 200 y el coste variable por unidad es 60. ¿Cuál es la tasa de variación de los costes fijos? ¿Cuál es la tasa de variación del beneficio anual?

No entiendo esta afirmación. Voy a poner lo que he entendido:

Beneficios: $U$

Coste total: $C$

Ingresos totales: $R$

$U=R-C$

$R=px$

$C=200+60x$

$U=R-C$

$U=px-(200+60x)$

Lo que no entiendo es la frase "Si la demanda aumenta a un ritmo de 3 unidades al año cuando la demanda alcance las 50 unidades"

Esto significa que $dx/dt=3$ entonces $\int_{50}^{x(t)} dx=2\int_{t=0\text{ or }1 \text{?}}^{t}dt$ ?

Gracias.

Answer 1

La redacción de la pregunta podría mejorarse. Suponiendo que la pregunta se refiere a la tasa de variación del beneficio al año cuando la demanda es de 50 unidades y tiene una tasa de variación de 3 unidades al año, puedes aplicar la regla de la cadena donde la dejaste:

$$\begin{align} U&=x\left({400-x \over 3}\right)-(200+60x)\\ \implies {\partial U \over \partial t}&={\partial U \over \partial x}{\partial x \over \partial t}\\ &=\left({400 \over 3}-{2\over 3}x-60\right)(3). \end{align}$$

En $x=50$ obtenemos $$\partial U/ \partial t ={\\\$ 120/\text{year}$$ .