Nivel medio de las variables de estado bajo la medida neutral al riesgo en Nelson Siegel sin arbitraje

Question

No entiendo por qué los niveles medios de las variables de estado bajo la medida de riesgo neutral, $\theta^{\mathbb{Q}}$ en Nelson-Siegel sin arbitraje se fija en cero. Esto se deduce de la siguiente relación:

La relación entre la dinámica de los factores bajo la medida de probabilidad del mundo real $\mathbb{P}$ y la medida neutral al riesgo $\mathbb{Q}$ viene dado por \begin{equation} \label{eq11} dW_{t}^{\mathbb{Q}}=dW_{t}^{\mathbb{P}}+\Gamma_{t}dt \end{equation} donde $\Gamma_{t}$ representa la prima de riesgo.

Christensen et al. [ $2011$ ] artículo aquí queremos preservar una dinámica afín tanto bajo la medida neutral de riesgo como bajo la medida de probabilidad del mundo real, por lo que el parámetro de la prima de riesgo debe ser una función afín de los factores: \begin{equation} \label{eq12} \Gamma_{t}=\begin{pmatrix} \gamma_{1}^{0}\\ \gamma_{2}^{0}\\ \gamma_{3}^{0} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \gamma_{1,1}^{1} & \gamma_{1,2}^{1} & \gamma_{1,3}^{1} \\ \gamma_2,1}^{1} & gamma_2,2}^{1} & gamma_2,3}^{1} \gamma_3,1}^{1} & \gamma_3,2}^{1} & \gamma_3,3}^{1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_{t}^{1}\\ X_{t}^{2}\\ X_{t}^{3} \end{pmatrix} \end{equation}

¿Alguna ayuda?

Answer 1

La razón de fijar $\theta^{\mathbb{Q}}=0$ es que, junto con otras restricciones, identifica los parámetros del modelo de forma única, lo que significa que el modelo está bien definido y que existe una relación unívoca entre los parámetros del modelo y la distribución de probabilidad de los datos. Si el modelo se identifica de forma única, sólo hay un conjunto de valores de los parámetros que puede generar los datos observados, dado el modelo especificado, y viceversa.

Esto se describe en la sección 3 del documento al que ha enlazado:

Dado que las variables de estado latentes pueden rotar sin cambiar el distribución de probabilidad de los rendimientos de los bonos, no todos los parámetros del del modelo anterior. Singleton (2006) impone restricciones de identificación restricciones bajo la $\mathbb{Q}$ -medida.

Configuración

• la media $\theta^{\mathbb{Q}}=0$ ,
• la matriz de volatilidad $\Sigma$ igual a la matriz identidad y
• la matriz de reversión media $K^{\mathbb{Q}}$ igual a la matriz triangular

permite identificar todos los demás parámetros del modelo de forma inequívoca a partir de los datos.