Problema de control óptimo estocástico (cálculo)

Question

Estoy leyendo un artículo sobre un problema de control óptimo estocástico. En un momento dado el autor se enfrenta a la siguiente ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB):

$$\rho V(A)=\max_{c,w}\left\{ u(c)+V'(A)\left[(r(1-w)+\mu w)A+y-c\right]+\frac{1}{2}w^{2}\sigma^{2}A^{2}V''(A)\right\}$$

Escribe que: Si $u''(\cdot)<0$ entonces la función política óptima para $c$ puede escribirse como: $c^{*}=C(A)=(u')^{-1}(V'(A))$ . Sustituyendo en la ecuación HJB, obtenemos la ecuación diferencial sobre $V(A)$ :

$$\rho V(A)= u(C(A))+V'(A)(y+rA-C(A))+\frac{1}{2}\left(\frac{r-\mu}{\sigma}\right)^{2}\frac{(V'(A))^{2}}{V''(A)}$$

Puedo ver fácilmente la sustitución en la primera parte de la última ecuación, pero no entiendo cómo el último término $\frac{1}{2}\left(\frac{r-\mu}{\sigma}\right)^{2}\frac{(V'(A))^{2}}{V''(A)}$ se obtiene. Si trato de hacer un poco de álgebra lo más que puedo obtener es:

$$\rho V(A)= u(C(A))+V'(A)(y+rA-C(A))+WA\left[(\mu-r)V'(A)+\frac{1}{2}WA\sigma^{2}V''(A)\right]$$

Hay alguien que me pueda ayudar a entender cual es el procedimiento correcto para obtener el resultado del trabajo $?$

Answer 1

Creo que debería haber un menos antes del término final en la expresión que buscas. En cualquier caso, no has introducido la condición de optimalidad para $w$ que es en tu caso

$$ w = -\frac{V'(A)}{AV''(A)}\frac{\mu - r}{\sigma^2}. $$ Enchufe eso para $W$ en la ecuación final de tu post para obtener la expresión deseada.