Lagrangiano para la maximización de la utilidad de un hogar en un modelo de coste de menú, condición de primer orden para Ci?

Question

Necesito resolver la derivada parcial a C_i de la integral proporcionada a continuación. Estaría más que feliz por un poco de ayuda.

Basándonos en la respuesta del libro, obtenemos:

¿Puede alguien explicarnos cómo llegar hasta allí? ¿Y por qué cambia el subíndice de i a j?

Answer 1

Esto se puede resolver utilizando la diferenciación de Feynman bajo el signo integral.

Por la regla de la cadena,

$\frac{d}{dC_i} [\int_{i=0}^{1} C_i^\frac{\eta -1}{\eta} di ]^\frac{\eta}{\eta-1}$

$ = \frac{\eta}{\eta -1} [\int_{i=0}^{1} C_i^\frac{\eta -1}{\eta} di]^\frac{1}{\eta -1} \cdot \frac{d}{dC_i} [\int_{i=0}^{1} C_i^\frac{\eta -1}{\eta} di] $

Aquí es donde utilizamos la técnica de Feynman (mover el operador diferencial dentro de la integral):

$ = \frac{\eta}{\eta -1} [\int_{i=0}^{1} C_i^\frac{\eta -1}{\eta} di]^\frac{1}{\eta - 1} \cdot \int_{i=0}^{1} \frac{\partial}{\partial C_i} C_{i}^\frac{\eta - 1}{\eta} di$

Después de diferenciar, obtenemos la respuesta:

$ = \frac{\eta}{\eta - 1} [\int_{i=0}^{1} C_i^\frac{\eta -1}{\eta} di]^\frac{1}{\eta - 1} \cdot \int_{i=0}^{1} \frac{\eta - 1}{\eta} C_{i}^{-\frac{1}{\eta}} di $

Tomando la constante múltiplo fuera de la integral, que es la inversa de la primera constante,

$= [\int_{i=0}^{1} C_i^\frac{\eta -1}{\eta} di]^\frac{1}{\eta - 1} \cdot \int_{i=0}^{1} C_{i}^{-\frac{1}{\eta}} di $