Elasticidad de sustitución dura (malos resultados)

Question

Tengo la siguiente función y me gustaría encontrar la elasticidad de sustitución entre pares:

$$U = \left( x_1^\delta + x_2^\delta + x_3^\gamma + x_4^\gamma \right)^{\frac{1}{\delta + \gamma}}$$

Siendo la fórmula de la elasticidad de sustitución:

$$ \sigma_{ij} = \frac{\frac{\partial (x_j/x_i)}{x_j/x_i}}{\frac{\partial MRS_{ij}}{MRS_{ij}}} = \frac{1}{\frac{\partial MRS_{ij}}{\partial (x_j/x_i)}} \frac{MRS_{ij}}{x_j/x_i}$$

Dónde $MRS_{ij} = MU_i/MU_j$ .

Puedo dividir la elasticidad de sustitución en dos grupos en función de la igualdad de los parámetros. Lo que se refiere a los resultados, $\sigma_{1,2}$ y $\sigma_{3,4}$ es fácil de calcular ... Da el mismo resultado que la función CES .

SIN EMBARGO en el caso de $\sigma_{1,3}$ y similares parece bastante difícil de encontrar analíticamente. A ver qué $MRS_{13}$ es igual a:

$$MRS_{13} = \frac{\frac{\delta}{\delta + \gamma}}{\frac{\gamma}{\delta + \gamma}} \frac{x_1^{\delta-1}}{x_3^{\gamma-1}} = \frac{\delta}{\gamma} \frac{x_1^{\delta-1}}{x_3^{\gamma - 1}} $$

La dificultad viene dada por el siguiente paso cuando deberíamos diferenciarlo por fracción de $x_3/x_1$ y matemáticas SE me dijo que esto se suele resolver mediante la sustitución $z= x_3/x_1$ lo que significa que debo reescribir las variables como: $x_1 (z) = x_3/z$ y $x_3 (z) = z x_1$ .

¿Por qué no es correcto este planteamiento?

$$\frac{\partial MRS_{13}}{\partial \frac{x_3}{x_1}} = \frac{\partial \left[\frac{\delta}{\gamma} \frac{x_1^{\delta-1}}{x_3^{\gamma - 1}} \right]}{\partial \frac{x_3}{x_1}} = \frac{\delta}{\gamma} \frac{\partial \left[ (x_1 (z) )^{\delta-1} \cdot (x_3 (z))^{-(\gamma-1)} \right]}{\partial z} = \frac{\delta}{\gamma} \left[ \frac{\partial (x_1 (z) )^{\delta-1}}{\partial z} (x_3 (z))^{-(\gamma-1)} + (x_1 (z) )^{\delta-1} \frac{\partial (x_3 (z))^{-(\gamma-1)}}{\partial z} \right] = \frac{\delta}{\gamma} \left[ (\delta-1) (x_1 (z) )^{\delta-2} \frac{\partial x_1 (z)}{ \partial z} (x_3 (z))^{-\gamma+1} + (x_1 (z) )^{\delta-1} (-\gamma +1) (x_3 (z))^{-\gamma} \frac{\partial x_3 (z)}{\partial z} \right]$$

Ahora sustituyendo de nuevo para $x_1(z)$ , $x_3(z)$ y $z$ , obtenemos:

$$\frac{\partial MRS_{13}}{\partial \frac{x_3}{x_1}} = \frac{\delta}{\gamma} \left[ (\delta-1) \left( \frac{x_3}{\frac{x_3}{x_1}} \right)^{\delta-2} \left( x_1 \frac{x_3}{x_1}\right)^{-\gamma +1} \frac{\partial x_1 (z)}{ \partial z} + \left( \frac{x_3}{\frac{x_3}{x_1}} \right)^{\delta-1} (-\gamma + 1) \left( x_1 \frac{x_3}{x_1} \right)^{-\gamma} \frac{\partial x_3 (z)}{\partial z} \right]= \frac{\delta}{\gamma} \left[ (\delta-1) ( x_1)^{\delta-2} ( x_3)^{-\gamma +1} \frac{\partial x_1 (z)}{ \partial z} + (x_1)^{\delta-1} (-\gamma + 1) (x_3)^{-\gamma} \frac{\partial x_3 (z)}{\partial z} \right]$$

Resolviendo ahora las derivadas interiores ya que sé que $\partial x_3(z) / \partial z = \partial (x_1 \cdot z )/ \partial z = x_1$ etc... Debería conseguirlo:

$$\frac{\partial MRS_{13}}{\partial \frac{x_3}{x_1}} = \frac{\delta}{\gamma} \left[(\delta-1) ( x_1)^{\delta-2} ( x_3)^{-\gamma +1} (-1) \frac{x_3}{\left( \frac{x_3}{x_1} \right)^2} + (x_1)^{\delta-1} (-\gamma + 1) (x_3)^{-\gamma} x_1 \right] = \frac{\delta}{\gamma} \left[ (-\delta +1) x_1^\delta x_3^{-\gamma} + x_1^\delta x_3^{-\gamma} (-\gamma + 1) \right] = \frac{\delta}{\gamma} \frac{x_1^\delta}{x_3^\gamma} \left[ 2 - \gamma - \delta \right]$$

Sé que no es correcto porque he simulado los resultados

Answer 1

Creo que hacer las sustituciones pasaste por alto cierta dependencia de $z=x_3/x_1$ . Quiero decir, si miras tus cálculos, encontrarás algunas $x_3/x_1$ que no se sustituye por $z$ . $^1$

Por cierto, en general, tu método es correcto, pero engorroso.

Formalmente es correcto escribir la sustitución como $x_1 (z) = x_3/z$ y $x_3 (z) = z x_1$ pero si los sustituye por $MRS_{13}$ como tal, y luego la diferencias utilizando la regla de la cadena para funciones compuestas, te complicas la vida a la hora de calcular la derivada.

En su lugar, basta con introducir la fórmula de $MRS_{13}$ $x_1 = x_3/z$ y $x_3 = z x_1$ y tratar $x_1$ y $x_3$ después de la sustitución, como constantes. Pero hay que tener cuidado de no olvidar alguna dependencia de $z$ .

Son los siguientes mis cálculos para la derivada de $MRS_{13}$ con respecto a $z=x_3/x_1$ .

$MRS_{13}$ es:

$$MRS_{13} = \frac{\delta}{\gamma} \frac{x_1^{\delta-1}}{x_3^{\gamma - 1}} \qquad (1)$$

Para "aislar $z$ Escribo $(1)$ como:

$$MRS_{13} = \frac{\delta}{\gamma} \frac{x_1^{\delta-1+\gamma-1-\gamma+1}}{x_3^{\gamma - 1}}== \frac{\delta}{\gamma} \frac{x_1^{\gamma-1} }{x_3^{\gamma - 1}} x_1^{\delta -1-\gamma +1}=\frac{\delta}{\gamma}z^{1-\gamma} x_1^{\delta-\gamma}\qquad (2)$$

Diferenciando con respecto a $z$ y sustituyendo de nuevo $x_3/x_1$ para $z$ Lo he hecho:

$$\frac{\partial MRS_{13}}{\partial z} = \frac{\delta}{\gamma} (1-\gamma) z^{-\gamma} x_1 ^{\delta-\gamma}=\frac{\delta}{\gamma} (1-\gamma) (\frac {x_1}{x_3})^{\gamma} x_1 ^{\delta-\gamma} =\frac{\delta}{\gamma}(1-\gamma)\frac {x_1^\delta}{x_3^\gamma}.\qquad (3)$$

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$^1$ Intenté seguir tu método haciendo las sustituciones, obtuve el mismo resultado que tú, pero me di cuenta de que alguna dependencia de $z$ se había olvidado, porque en la fórmula quedaban algunos $x_3/x_1$ que no fue sustituido por $z$ . Este error se te indicó también en el post que enlazaste a Math.SE. Creo que aquí hay un error similar durante las sustituciones.