Modelo Solow-Swan: Demuestre que $\overline{Q_t} = A_t f(\overline{Z}) e^{gt}$ por la senda del crecimiento equilibrado

Question

Supongamos un modelo Solow-Swan con $Y_t = F(K,AL)$ como función de producción. Supongamos que la tasa de crecimiento de $A$ y $L$ son $g > 0$ y $n > 0$ respectivamente. También se da que $\dot{K} = sY - \delta K$ donde $\delta$ es la tasa de depreciación y $s$ es la tasa de ahorro. Si $Z = \frac{K}{AL}$ y $Q_t = \frac{Y_t}{L_t}$ demuestre que $\overline{Q_t} = A_t f(\overline{Z}) e^{gt}$ donde $\overline{Q}$ es el valor de la senda de crecimiento equilibrado de $Q$ , $\overline{Z}$ es el valor en estado estacionario de $Z$ y $f(Z) := F(Z,1)$ .

Intento:

$Q_t = A_t \frac{F(K_t,A_tL_t)}{A_tL_t} = A_t f(Z_t) = A_t f(Z_t)$ . En estado estacionario, $\frac{\dot{Z}}{Z} = \frac{s f(Z)}{Z} - (n + \delta + g) = 0 \implies f(\overline{Z}) = \frac{n+\delta+g}{s}\overline{Z}$ .

En la senda de crecimiento equilibrado, supongamos que $\frac{\dot{Y}}{Y} = g_Y$ .

¿Cómo debo proceder?

Answer 1

Para responder a la pregunta es necesario recordar la comportamiento de las variables en estado estacionario por lo que, por supuesto, es necesario haber resuelto previamente el modelo para el estado estacionario. $^1$

En su pregunta tenemos el Modelo de Solow con aumento de la mano de obra técnica progreso, es decir, la función de producción es

$Y_t=f(K_t,A_t L_t)$

donde $A_t$ representa el progreso técnico y $A_t L_t$ es el llamado trabajo eficaz .

Resolución del modelo para el estado estacionario obtenemos que las variables por trabajo efectivo son constantes es decir $Z_t\equiv \frac {K_t}{A_tL_t}= \overline {Z}$ y $y_t \equiv \frac {Y_t}{A_tL_t}$ son constantes, donde $\overline {Z}$ es el valor constante en estado estacionario de $Z_t$ .

Por lo tanto tenemos, en estado estacionario:

$y_t\equiv \frac {Y_t}{A_tL_t}= f(\overline {Z})\;\;\;\;\quad (1)$

de la que

$ Q_t\equiv \frac {Y_t}{L_t}= A_tf(\overline {Z})\qquad (2)$

Pero, por suposición en el modelo, tenemos $^2$ :

$A_t= A_0 e^{gt}\qquad \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$

donde $g$ es la tasa de crecimiento de la tecnología $A_t$ y $A_0$ es el valor inicial de $A_t$ .

Por lo tanto, sustituyendo $(2)$ obtenemos:

$ Q_t\equiv \frac {Y_t}{L_t}= A_0 f(\overline {Z})e^{gt}.\qquad (4)$ $$\;$$

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$^1$ Por supuesto, la solución del modelo es demasiado largo para ser reportado aquí, usted puede mirar en un buen texto de la macroeconomía, como Romer, Macroeconomía avanzada o en algunas referencias estándar sobre crecimiento económico, como los libros de Acemoglu o Barro & Sala i Martin.

$^2$ En el modelo se supone que $A_t$ crece a un ritmo constante $g$ . Recuerde, muy importante, que la forma exponencial con $e^{at}$ como en $(3)$ es la expresión matemática para denotar un crecimiento a tasa constante $a$ de una variable. Si calculas la tasa de crecimiento en ese caso puedes darte cuenta.