control estocástico óptimo/derivar el proceso de consumo

Question

( el enlace en papel : p.32, Ecuación (26), (27))El proceso de salida: $d\log y_t = \sigma dZ_t$ . El problema es: $$\max_{C_t, B_t} \mathbb E_0 \int_0^\infty e^{-\rho t} \left(\frac{C_t^{1-v}}{1-v} + (y_t)^{1-v} v(\frac{B_t}{y_t}) \right) dt.$$ La restricción presupuestaria es $$C_t + \dot{B_t} \le (R_t - G) B_t + (1-\mu) w_t n_t - T_t.$$ Digamos que $b_t = B_t/y_t, c_t = C_t/y_t, w_tn_t/y_t = 1$ y $T_t/y_t = \tau_t$ . A continuación, los autores afirman que $$v \frac{\dot c_t}{c_t} = R_t - G - \rho + \frac12 v^2 \sigma^2 + c_t^v v'(b_t).$$

Tengo problemas para derivar el último proceso de consumo. Mi intento es el siguiente. Usando el lema de Ito, $dy_t = \frac{y_t}2 \sigma^2 dt + y_t \sigma dZ_t$ . Utilizando de nuevo el lema de Ito, podemos obtener $db_t = [(R_t - G + \frac{\sigma^2}2)b_t + (1-\mu) - \tau_t - c_t] dt - b_t\sigma dZ_t$ . Esto hace que $b_t$ una variable de estado (¿es correcto?). Entonces, podemos escribir HJB: $$\rho V(b) = \max_{c} \left(\frac{c_t^{1-v}}{1-v} + v(b) + V'(b)[(R - G + \frac{\sigma^2}{2})b + (1-\mu) - \tau - c] + \frac{V''(b)}{2}b^2 \sigma^2 \right).$$ Podemos tener dos ecuaciones de este HJB: 1) $c^{-v} = V'(b)$ ; 2) $\rho V'(b) = v'(b) + V''(b)\mu_b(b) + V'(b)(R - G + \frac{\sigma^2}{2}) + \frac{V'''(b)}{2} b^2 \sigma^2 + V''(b) b\sigma^2$ donde $\mu_b(b)$ es el término de deriva del proceso $b$ . Estoy atrapado aquí. Yo estaba pensando en una conjetura-verificar enfoque (por ejemplo, $V(b) = K \log b$ para algunos $K$ ), pero aún no saben cómo manejar $c^{-v} = V'(b)$ porque este BDC dice que el proceso de $c$ debe tener el término de volatilidad. Le agradecería si usted da un poco de ayuda.

Answer 1

Vale, sé cómo los autores obtuvieron su solución. Pero no estoy seguro de que esté justificada. La presentaré de todos modos.

A juzgar por el apéndice del artículo, los autores resuelven un problema determinista y luego añaden un término Ito y una expectativa.

Así pues, tomemos el problema original, pero sin la expectativa:

$$ \max_{\{C_t, B_t\}} \int_0^\infty e^{-\rho t}\left\{\frac{C_t^{1- \vartheta}}{1 -\vartheta} + y_t^{1- \vartheta} v\left(\frac{B_t}{y_t}\right)\right\}\mathrm{d}t, $$ sujeto a $$ C_t + \dot{B}_t \leq (R_t - G)B_t + (1-\mu)w_tn_t - T_t. $$

Se trata de un problema de control óptimo determinista estándar con FOC (donde $\lambda_t$ es el co-estado en $B_t$ )

\begin{align} \lambda_t &= C_t^{-\vartheta} = y_t^{-\vartheta}c_t^{-\vartheta},\\ \mathrm{d}\lambda_t &= \lambda_t(\rho + G - R_t)\mathrm{d}t - y_t^{\vartheta}v'\left(\frac{B_t}{y_t}\right)\mathrm{d}t. \end{align} Del primer FOC, tenemos también por el Lemma de Ito, $$ \mathrm{d}\lambda_t = \frac{1}{2}(\vartheta \sigma)^2\lambda_t\mathrm{d}t - \vartheta\lambda_t \frac{\mathrm{d}c_t}{c_t} - \vartheta\sigma \lambda_t \mathrm{d}Z_t. $$ Si lo introducimos en la segunda FOC y lo reordenamos, obtenemos $$ \vartheta \lambda_t \frac{\mathrm{d}c_t}{c_t} = \lambda_t \left(R_t - G - \rho + \frac{1}{2}\vartheta^2 \sigma^2\right)\mathrm{d}t + \lambda_t c_t^\vartheta v'\left(\frac{B_t}{y_t}\right)\mathrm{d}t - \vartheta \sigma \lambda_t \mathrm{d}Z_t, $$ o, $$ \vartheta \mathbb{E}_t\left( \frac{\mathrm{d}c_t}{c_t}\right) = \left(R_t - G - \rho + \frac{1}{2}\vartheta^2 \sigma^2\right)\mathrm{d}t + c_t^\vartheta v'\left(b_t\right)\mathrm{d}t, $$ que es la expresión que buscas, dada la interpretación correcta.

Ahora bien, no estoy totalmente seguro de que este planteamiento esté justificado. Dado que el Estado $B_t$ evoluciona de forma determinista, podría estar bien utilizar el método de solución anterior, ya que la varianza en el co-estado inducida por las fluctuaciones de la dotación entra implícitamente en la dinámica del co-estado. Sin embargo, no tengo una manera formal de justificar esto.

Espero que le sirva de ayuda.