Es cierto, $\frac{\partial}{\partial S}C_\text A(S,0)\in [0,1]$ y que la diferencia está limitada por encima.
Prueba: Supongamos que $S\ge 0$ sigue un proceso de volatilidad local $$dS(t) = \sigma(S(t),t)S(t)\,dB(t)$$ donde $B(t)$ es el movimiento browniano estándar. Podemos ampliar esta dinámica más adelante para tener en cuenta un proceso de volatilidad estocástica.
Porque $C_\text E(S,t_1^-)=C_\text E(qS,t_1^+)$ , $\frac{\partial}{\partial S}C_\text E(S,t_1^-)=q\frac{\partial}{\partial x}C_\text E(x=qS,t_1^+)<q<1,\,\forall t<T$ , $S-K=C_{\text E}(S,t_1^-)$ tiene una solución única para $S$ . Lo denotamos por $S_c$ . Porque el valor de una llamada, ya sea americana o europea, como $C_\text E(S,t)$ es convexa con respecto a las existencias $S$ , $\min_{S\ge S_c}\frac{\partial}{\partial S}C_\text E(S,t_1^-)=\frac{\partial}{\partial S}C_\text E(S=S_c,t_1^-)$ .
Sea $\Theta$ sea la función escalón de Heaviside . En el momento $t<s$ ambas llamadas, y su diferencia $C=C_{\text A}-C_{\text E}$ debido a su linealidad, satisfacen $$\bigg[\frac{\partial}{\partial t}+\frac12(\sigma S)^2\frac{\partial^2}{\partial S^2}\bigg]C(S,t)=0,$$ $$C(S,t=t_1^-)=\big(S-K-C_\text E(S,t_1)\big)\Theta(S-S_c).$$ Tomar la derivada parcial de la ecuación diferencial parcial anterior sobre $S$ y $C_1:=\frac{\partial}{\partial S}C$ . Tenemos $$\bigg[\frac{\partial}{\partial t}+uS\frac{\partial}{\partial S} +\frac12(\sigma S)^2\frac{\partial^2}{\partial S^2}\bigg]C_1(S,t)=0, \tag1\label{1}$$ $$C_1(S,t=t_1^-)=\Big(1-\frac{\partial}{\partial S}C_\text E(S,t_1)\Big)\Theta(S-S_c),$$ donde $u:=\frac1{2S}\frac{\partial}{\partial S}(\sigma S)^2$ . Repitiendo aquí la misma metodología, puede demostrarse que $$0\le C_1(S,t_1^-)\le1-\frac{\partial}{\partial S}C_\text E(S=S_c,t_1^-).$$ Por el principio del máximo fuerte de las ecuaciones diferenciales parciales elípticas y parabólicas (véase también el artículo de Wikipedia ), $$0=\inf_S C_1(S,t_1^-)\le C_1(S,t)\le\sup_S(S,t_1^-)=1-\frac{\partial}{\partial S}C_\text E(S=S_c,t_1^-), \quad\forall t<t_1. \tag2\label2$$
Una alternativa al último paso es la fórmula de Feynman-Kac .
La solución de la ecuación $\eqref1$ est $$C_1(S,t)=\mathbf E\big[C_1(S(t_1^-),t_1^-)\big|S(t_1^-)=S\big]$$ bajo la medida de probabilidad tal que $S(t)$ es un nuevo proceso Ito $$dS=uSdt+\sigma S\,dB.$$ Ecuación $\eqref2$ es entonces evidente.
Recapitulando, hemos demostrado -- más de lo que se busca con la pregunta -- que $$0\le\frac{\partial}{\partial S}\big(C_{\text{A}}(S,t)-C_{\text{E}}(S,t)\big)\le1-\frac{\partial}{\partial S}C_\text E(S=S_c,t_1^-), \quad\forall t<t_1,$$ que es el resultado deseado para la diferencia.
Aplicando el mismo método, podemos demostrar \begin{align*} & C_\text A(S,T) = C_\text E(S,T) = (S-K)_+ \\ \implies & \frac{\partial}{\partial S}C_\text A(S,T) = \frac{\partial}{\partial S}C_\text E(S,T) = \Theta(S-K)\in [0,1] \\ \implies & \frac{\partial}{\partial S}C_\text A(S,t_1^+) = \frac{\partial}{\partial S}C_\text E(S,t_1^+) \in [0,1] \end{align*} y así $$\frac{\partial}{\partial S}C_\text A(S,t)\in [0,1], \quad\forall t<t_1.$$
$$\tag*{$ \square $}$$
