¿Puede la volatilidad asumir valores negativos en el marco del HJM multifactorial?

Question

No he podido encontrar ninguna referencia que restrinja el signo de las volatilidades en el marco multifactorial HJM.

¿Puede alguien confirmar si $\sigma_i(t,T)$ puede asumir valores negativos para algunos $i,t$ y $T$ ?

$$df(t,T) = \left(\sum_i \sigma_i(t,T)\int_t^T \sigma_i(t,u) du \right) dt + \sum_i \sigma_i(t,T) dW_i(t)$$

Answer 1

Al principio, tampoco pude encontrar una sola fuente que restrinja formalmente $\sigma_i(t,T)$ . Sin embargo, el artículo [1], formalmente muy preciso, afirma explícitamente que el $\sigma_i(t,T)$ se suponen no negativos:

[...] las volatilidades $\sigma_i(\cdot,\cdot,\omega_t)$ pertenecen a $\mathcal{F}$ el conjunto de todas las funciones definidas a partir de ${(t, T ) : t \in [0, T ]}\times\Omega$ en $\mathbb{R}$ que son $\mathbb{P}$ -casi casi siempre no negativo, acotado, cuadráticamente integrable en cualquier y continua de Lipschitz con respecto a la segunda variable. Además, la $\sigma_i(\cdot,\cdot,\omega_t)$ son medibles conjuntamente a partir de $\mathcal{B} {(t, T ) : t \in [0, T]} \times \mathcal{F}_T \mathcal{B}$ donde $\mathcal{B}$ es el Borel $\sigma$ -restringida a $[0, T]$ .

La mayoría de las referencias lo asumen tranquilamente al afirmar que el $\sigma_i(t,T)$ son funciones de volatilidad.

Además, las funciones de volatilidad suelen modelarse como un proceso no negativo, por ejemplo al mostrar su correspondencia con un modelo de Hull-White [2].

[1] Tchuindjo, L. (2009). Una deriva neutral al riesgo ampliada de Heath-Jarrow-Morton. Cartas de Matemática Aplicada, 22(3) , 396-400.

[2] Modelo Hull-White: correspondencia entre el marco HJM y la formulación del modelo abreviado